Приглашение в теорию чисел - О. ОРЕ

Позже мы используем другой факт.

Если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом,

ab = c2, D(a, b) = 1, (4.2.5)

то числа а и b являются квадратами:

а = а12, b = b12. (4.2.6)

Доказательство. Для того чтобы некоторое число было квадратом, необходимо и достаточно, чтобы все степени в разложении его на простые множители были четными. Так как числа а и b — взаимно простые (4.2.5), то любой простой множитель из с2 содержится либо в а, либо в b, но не в обоих; отсюда простые множители чисел а и b должны иметь четные степени.

Система задач 4.2.

1. Какие числа взаимно простые с числом 2?

2. Почему D(n, n + 1) = 1?

3. Исследуйте пары дружественных чисел в табл. 2 (стр. 45) и найдите те из них, которые взаимно просты.

4. Может ли правило, выраженное в формулах (4.2.5) и (4.2.6), быть справедливым не только для квадратов, но и для произвольных степеней?

§ 3. Алгоритм Евклида

Вновь вернемся к нашим дробям а/b. Если а > b, то дробь является числом, большим 1, и мы часто разделяем ее на целую часть и правильную дробь, меньшую единицы.

Примеры. Мы пишем

32/5 = 6 + 2/5 = 6 2/5, 63/7 = 9 + 0/7 = 9.

В общем случае мы используем деление с остатком

чисел а и b (a ≥ b), а именно:

a = qb + r, где 0 ≤ r ≤ b—1. (4.3.1)

Рис. 14.

Очевидно, что это всегда возможно. Действительно, рассмотрим числа 0, 1, 2… на числовой прямой (рис. 14). Где-то на этой прямой расположено число а. Начиная от точки 0 станем отмечать точки b, 2b, Зb и т. д. до точки qb такой, что qb не больше, чем а, в то время как (q + 1)b уже больше а. Расстояние от точки qb до точки а и есть r. Мы называем число r остатком при делении (4.3.1), a q — частным. Это частное q встречается столь часто, что имеется специальный символ для его обозначения:

q = [a/b].

Этот символ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее числа а/b. Для примеров, приведенных выше, получим

[32/5] = 6, [63/7] = 9.

В предыдущем разделе мы исследовали наибольший общий делитель двух натуральных чисел а и b:

d0 = D(a, b). (4.3.2)

Чтобы найти число d0, мы полагали, что мы знаем разложения чисел а и b на простые множители. Однако нахождение таких разложений может оказаться очень трудным занятием для больших чисел. Существует совсем другой метод для нахождения наибольшего общего делителя, который не использует подобных разложений. Он основан на следующем:

Если a = qb + r, где 0 ≤ r ≤ b—1, то

D(a, b) = d = D(r, b). (4.3.3)

Доказательство. Запишем

d0 = D(a, b), d1 = D(r, b).

Таким образом, доказательство соотношения (4.3.3) означает доказательство того, что d0 = d1. Любой общий делитель чисел а и b также делит число

r = а — qb.

Следовательно, число r делится на d0.

Так как число d0 является делителем как числа r, так и числа b, то оно должно делить и число d1 = D(b, r); отсюда d1 ≥ d0. С другой стороны, в соответствии с соотношением (4.3.1) любой общий делитель чисел r и b делит число а, откуда число d1 делит число а. Так как число d1 делит также и число b, то оно должно делить и число d0 = D(a, b), следовательно, d0 ≥ d1. Из сказанного следует, что d0 = d1.

Пример. 1066 = 5 • 200 + 66; следовательно, (1066, 200) = (66, 200).

Этот результат, сформулированный в утверждении (4.3.3), дает нам простой метод вычисления наибольшего общего делителя двух чисел. Вместо поисков наибольшего общего делителя чисел а и b достаточно найти наибольший общий делитель чисел r и b. Эта задача более проста, так как число r меньше, чем каждое из чисел а и b. Чтобы найти наибольший общий делитель чисел r и b, мы вновь воспользуемся тем же методом и разделим число b на r:

b = q1r + r1,

где r1 меньше каждого из чисел b и r. В соответствии с правилом (4.3.3) мы получаем

d0 = D(a, b) = D(b, r) = D(r, r1).

Далее, таким же способом обращаемся с числами r и г1 и т. д. В результате получаем последовательность пар чисел, каждая из которых имеет один и тот же наибольший общий делитель:

d0 = D(a, b) = D(b, r) = D(r, r1) = D(r1, r2) =… (4.3.4)

Так как остатки постоянно уменьшаются, то эта последовательность должна закончиться после получения остатка rk+1 = 0. Это происходит при делении

rk-1 = qk+1rk + 0,

т. е. число rk делит число rk-1. Тогда

D(rk-1, rk) = rk,

и из (4.3.4) видим, что

d0 = D(а, b) = rk.

Другими словами, число d0 равно первому из остатков, который делит предшествующий ему остаток.

Пример. Найдем наибольший общий делитель чисел 1970 и 1066. Когда мы разделим одно число на другое и продолжим этот процесс дальше, как было выше рассказано, то найдем

1970 = 1 • 1066 + 904,

1066 = 1 • 904 + 162,

904 = 5 • 162 + 94,

162 = 1 • 94 + 68,

94 = 1 • 68 + 26,

68 = 2 •  26 + 16,

26 = 1 • 16+ 10,

16 = 1 • 10 + 6,

10 = 1 • 6 + 4,

6 = 1 • 4 + 2,

4 = 2 • 2 + 0.

Следовательно, (1970, 1066) = 2.

Этот метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел называется алгоритмом Евклида, так как первое его описание содержится в «Началах» Евклида. Этот метод очень удобен для применения в вычислительных машинах.

Система задач 4.3.

1. Решите задачу 1 § 1 (с. 49), используя алгоритм Евклида.

2. Найдите наибольший общий делитель для каждой из пяти первых пар дружественных чисел. Сравните результаты с результатами, полученными с помощью разложения на простые множители.

3. Каким количеством нулей заканчивается число

n! = 1 • 2 • 3 •… • n?

Сверьте свой результат с таблицей факториалов.

§ 4. Наименьшее общее кратное

Вновь вернемся к дробям. Чтобы сложить (или вычесть) две дроби

c/a, d/b,

мы приводим их к общему знаменателю, а затем складываем (или вычитаем) числители.

Пример.

2/15 + 5/9 = 6/45 + 25/45 = 31/45.

Вообще, чтобы получить сумму

c/a + d/b,

мы должны найти общее кратное для чисел а и b, т. е. число m, на которое делятся как число а, так и b. Одно из таких чисел очевидно, а именно, их произведение m = ab; в результате получаем в качестве суммы дробей

c/a + d/b = cb/ab + da/ab = (cb + da)/ab.

Но существует бесконечно много других общих кратных для чисел а и b. Предположим, что мы знаем разложение этих двух чисел на простые множители:

а = р1α1 • … • рrαr, b = р1β1 •… • рrβr. (4.4.1)

Число m, которое делится одновременно на числа а и b, должно делиться на каждый простой делитель pi чисел а и b и содержать его в степени μi не меньшей, чем большая из двух степеней αi и βi. Таким образом, среди общих кратных существует наименьшее