Приглашение в теорию чисел - О. ОРЕ

220 = 22 • 5 • 11, 284 = 22 • 71.

Суммами их делителей являются соответственно

1 + 2 + 4 + 5 +10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Эта пара дружественных чисел оставалась единственной известной до тех пор, пока Пьеру Ферма не удалось найти следующую пару:

17 296 = 24 • 23 • 47, 18 416 = 24 • 1151.

Поиски пар дружественных чисел чрезвычайно удобно вести с помощью ЭВМ. Для каждого числа n при помощи машины определяются все делители этого числа (≠ n) и их сумма m. После этого производится такая же операция с числом m. Если при этом вновь получается первоначальное число n, то пара чисел (n, m) оказывается дружественной. Недавно этим способом в Йельском университете на ЭВМ IBM 7094 были проверены все числа до одного миллиона. В результате была получена коллекция из 42 пар дружественных чисел; некоторые из них оказались ранее неизвестными. Все пары дружественных чисел до 100 000 приведены в табл. 2. При помощи этого метода, как нетрудно видеть, одновременно «вылавливаются» и совершенные числа. Если возникает желание продолжать поиски дальше, то, конечно, это можно сделать, но придется затратить большое количество машинного времени.

Таблица 2

Дружественные числа до 100 000

В действительности мы очень мало знаем о свойствах пар дружественных чисел, однако, можно на основе наших таблиц высказать несколько предположений. Например, отношение одного из них к другому, по-видимому, должно все больше и больше приближаться к 1 по мере того, как они увеличиваются. Из таблицы видно, что эти числа бывают либо оба четными, либо оба нечетными, но не было найдено случая, когда одно число четно, а другое нечетно, хотя поиски дружественных чисел такого вида были проведены среди всех чисел n ≤ 1 3 000 000 000.

ГЛАВА 4

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

§ 1. Наибольший общий делитель

Откровенно говоря, мы надеемся, что многое в этой главе окажется для вас знакомым.

В ней рассматриваются понятия, с которыми вы познакомились в школе, как только научились обращаться с обыкновенными дробями. Единственным оправданием включения этого материала является желание освежить его в вашей памяти. Мы также надеемся, что приведенное изложение материала явится более систематическим, чем то, к которому вы привыкли.

Возьмем некоторую дробь а/b, отношение двух целых положительных чисел а и b. Обычно мы стараемся привести ее к простейшему виду, т. е. мы стараемся сократить множители, общие для а и b.

Эта операция не изменяет значения дроби, например,

24/36 = 8/12 = 2/3.

Общим делителем двух натуральных чисел а и b называется натуральное число d, которое является множителем как числа а, так и числа b, т. е.

a = d • а1, b = d • b1.

Если число d — общий делитель чисел а и b, то он также делит числа а + b и а — b, так как

а + b = а1d + b1d = (а1 + b1) d,

а — b = а1d — b1d = (а1 — b1) d.

Когда известны разложения чисел а и b на простые множители, нетрудно найти все их общие делители. Выпишем эти два разложения на простые множители:

а = р1α1 • … • рrαr, b = р1β1 • … • рrβr. (4.1.1)

Здесь мы договариваемся записывать разложения чисел а и b так, как если бы они имели одинаковые простые множители

р1, p2…, рr

но с условием, что мы допускаем возможность использования показателя степени, равного 0. Например, если p1 делит число а, но не делит число b, мы полагаем, что в формуле (4.1.1) β1 = 0. Таким образом, если

а = 140, b = 110, (4.1.2)

то

а = 22 • 51 • 71 • 110, b = 21 • 51 • 70 • 111. (4.1.3)

Из формулы (4.1.1) следует, что любой делитель d числа а может иметь простыми множителями только числа pi, которые встречаются в числе а и каждое из них содержится в степени δi, не превосходящей соответствующей степени αi в числе а. Аналогичные условия имеют место и для любого делителя d числа b. Поэтому общий делитель d чисел а и b может иметь в качестве простых множителей только числа pi, которые встречаются одновременно в числах а и b, а степень δi числа pi в d не может превосходить меньшей из двух степеней: αi и βi.

Из этого обсуждения мы можем сделать вывод: любые два натуральных числа а и b имеют наибольший общий делитель d0. Простыми множителями pi числа d0 являются те, которые одновременно встречаются в числах а и b, а степень числа рi в числе d0 есть меньшее из двух чисел αi и βi.

Пример. Возьмем два числа, указанных в (4.1.2), имеющие разложения на простые множители (4.1.3); очевидно, что

d0 = 21 51 = 10.

Так как степень простого числа pi в наибольшем общем делителе по крайней мере не меньше, чем у любого другого общего делителя, то мы получаем характеристическое свойство:

Любой общий делитель d делит наибольший общий делитель d0.

Наибольший общий делитель двух чисел настолько важен, что для него существует специальное обозначение:

d0 = D(a, b). (4.1.4)

Система задач 4.1.

1. Найдите наибольший общий делитель пар чисел: а) 360 и 1970, б) 30 и 365, в) номера вашего телефона и вашего почтового индекса.

2. Как бы вы стали доказывать, что √2 есть иррациональное число, используя в доказательстве теорему о единственности разложения?

§ 2. Взаимно простые числа

Число 1 является общим делителем для любой пары чисел а и b. Может случиться, что единица будет единственным их общим делителем, т. е.

d0 = D(a, b) = 1. (4.2.1)

В этом случае мы говорим, что числа а и b взаимно простые.

Пример. (39, 22) = 1.

Если числа имеют общий делитель, больший единицы, то они также имеют общий простой делитель.

Итак, два числа могут быть взаимно простыми только тогда, когда они не имеют общих простых множителей, поэтому условие (4.2.1) означает, что числа а и b не имеют общих простых множителей, т. е. все их простые множители различны.

Вернемся к началу этой главы, где мы приводили дробь а/b к простейшему виду. Если d0 есть наибольший общий делитель чисел а и b, то мы можем написать

a = a0d0, b = b0d0. (4.2.2)

Тогда

a/b = a0d0/b0d0 = a0/b0. (4.2.3)

В формуле (4.2.2) числа а0 и b0 не могут иметь простых общих множителей, в противном случае числа а и b имели бы общин множитель, больший, чём d0. Следовательно,

D(a0, b0) = 1. (4.2.4)

Это означает, что для второй дроби в формуле (4.2.3) дальнейшее сокращение невозможно.

Одним из часто применяемых свойств взаимно простых чисел является следующее.

Если произведение ab делится на число с, которое взаимно просто с числом b, то число а делится на с.

Доказательство. Так как число с делит произведение ab, то простые множители числа с содержатся среди простых множителей чисел а и b. Но так как D(b, c) = 1, то их не может быть среди множителей числа b. Таким образом, все простые множители числа с делят число а, но не делят число b, и они появляются в числе а в степенях, не меньших, чем в числе с, так как число с делит ab.