Приглашение в теорию чисел - О. ОРЕ

Таким образом мы показали, что

Каждое целое число, большее 1, является простым числом или произведением простых чисел.

Последовательное разложение числа на множители может быть выполнено многими способами. При этом можно использовать таблицу делителей. Сначала найдем наименьшее простое число р1, делящее число с, так что с = р1с1. Если с1 — составное число, то по таблице делителей найдем наименьшее простое число р2, делящее с1, так что

c1 = р2 • с2,   c = p1 • p2 • с2.

Затем найдем наименьший простой делитель числа с2 и т. д.

Но главное здесь то, что независимо от способа разложения числа на простые множители результат всегда будет одним и тем же, различаясь лишь порядком их записи, т. е. любые два разложения числа на простые множители содержат одни и те же простые числа; при этом каждое простое число содержится одинаковое число раз в обоих разложениях.

Этот результат мы можем кратко выразить следующим образом:

разложение числа на простые множители единственно.

Возможно, что вы так часто слышали об этой так называемой «основной теореме арифметики» и пользовались ею, что она представляется вам очевидной, но это совсем не так. Эта теорема может быть доказана несколькими различными способами, однако ни один из них не тривиален. Здесь мы приведём доказательство, используя способ «от противного», который часто называют его латинским названием reductio ad absurdum (приведением к абсурду). Этот способ заключается в следующем: предположив ложность теоремы, которую нужно доказать, показывают, что это предположение приводит к противоречию.

Доказательство. Предположим, что наша теорема о единственности разложения на множители неверна. Тогда должны существовать числа, имеющие по крайней мере два различных разложения на простые множители. Выберем из них наименьшее и обозначим его через с0. Для небольших чисел, скажем, меньших 10, истинность теоремы можно установить прямой проверкой. Число с0 имеет наименьший простой множитель р0, и мы можем записать:

c0 = p0 d0.

Так как d0 < c0, то число d0 единственным образом раскладывается на простые множители. Отсюда следует, что разложение числа c0 на простые множители, содержащее число р0, единственно.

А так как, по предположению, имеется по крайней мере два разложения числа c0 на простые множители, то должно быть разложение, не содержащее число р0. Наименьшее простое число в этом разложении мы обозначим через р1 и запишем

c0 = p1 d1. (3.1.1)

Так как p1 > p0, то d1 < d0 и, следовательно, p0 d1 < c0. Рассмотрим число

c0' = c0 — p0 d1 = (p1 - p0) • d1. (3.1.2)

Так как оно меньше, чем число c0, то оно должно раскладываться на простые множители единственным способом; при этом простые множители числа c0 состоят из простых множителей чисел p1 - p0 и d1. Так как число c0 делится на p0, то из выражения (3.1.2) следует, что число c0' также делится на p0. Следовательно, p0 должно быть делителем либо числа d1, либо p1 - p0. Но любой простой делитель числа d1 больше, чем p0, так как p1 — наименьшее простое число в разложении (3.1.1). Таким образом, остается единственная возможность: p0 должно быть делителем числа p1 - p0 и, следовательно, оно делит p1. Итак, мы пришли к противоречию, потому что p1 является простым числом и не может делиться на другое простое число p0.

Выше мы отмечали, что единственность разложения числа на простые множители совсем не очевидна. В действительности, существуют «арифметики», в которых аналогичная теорема не выполняется. Простейшим примером такой арифметики может служить арифметика четных чисел

2, 4, 6, 8, 10, 12…

Некоторые из них могут быть разложены на два четных множителя, а другие — нет; последние мы называем чётно-простыми числами. Это числа, которые делятся на 2, но не делятся на 4:

2, 6, 10, 14, 18….

Очевидно, что каждое четное число либо является четно-простым, либо записывается в виде произведения чётно-простых чисел. Но такое разложение на чётно-простые числа не всегда будет единственным. Например, число 420 может быть разложено на четно-простые числа различными способами:

420 = 6 • 70 = 10 • 42 = 14 • 30.

Система задач 3.1.

1. Найдите разложение на простые множители каждого из чисел 120, 365, 1970.

2. Проделайте то же самое для чисел, указанных в задаче 1 системы задач 2.1 (стр. 25).

3. Запишите все разложения числа 360 на чётно-простые числа.

4. В каких случаях четные числа обладают единственным разложением на четно-простые множители?

§ 2. Делители

Разложим на множители какое-нибудь число, скажем, 3600. Это разложение

3600 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5

может быть записано как

3600 = 24 • 32 • 52.

Вообще при разложении числа n на множители аналогично можно собирать одинаковые простые множители в виде степеней и записывать

n = p1α1 • p2α2 • …. • рrαr, (3.2.1)

где p1, p2 …. рr — различные простые множители числа n, причем число p1 входит α1 раз, p2 входит α2 раз и т. д.

Если мы знаем вид (3.2.1) для числа, то мы сможем тотчас же ответить на некоторые вопросы об этом числе.

Например, если мы захотим, то можем узнать, какие числа делят число n. Возьмем для примера рассмотренное выше число 3600. Предположим, что число d является одним из его делителей, т. е.

3600 = d • d1.

Приведенное разложение на простые множители показывает, что единственными числами среди множителей числа d будут лишь 2, 3, 5. Кроме того, число 2 может содержаться не более 4 раз, а числа 3 и 5 не более, чем по 2 раза каждое. Итак, мы видим, что возможными делителями числа 3600 будут числа вида

d = 2δ1 • 3δ2 • 5δ3,

при этом показатели степени могут принимать значения:

δ1 = 0, 1, 2, 3, 4;

δ2 = 0, 1, 2;

δ3 = 0, 1, 2.

Так как эти значения могут сочетаться всеми возможными способами, то число делителей равно

(4 + 1)•(2 + 1)•(2 + 1) = 5 • 3 • 3 = 45.

Для любого числа n, разложение которого на простые множители дается формулой (3.2.1), положение точно такое же. Если число d является делителем числа n, т. е.

n = d • d1

то единственными простыми числами, на которые может делиться число d, будут только те, которые делят число n, а именно: p1…, рr. Таким образом, мы можем записать разложение числа d на простые множители в виде

d = p1δ1 • p2δ2 • …. • рrαr, (3.2.2)

Простое число p1 может содержаться не более α1 раз, как и в самом числе n; аналогично — для p2 и других простых чисел. Это значение для числа δ1 мы можем выбрать α1 + 1 способом:

δ1 = 0, 1…, α1;

аналогично и для других простых чисел. Так как каждое из α1 + 1 значений, которые может принимать число δ1, может сочетаться с любым из α2 + 1 возможных значений числа δ2 и т. д., то мы видим, что общее число делителей числа n задается формулой