Приглашение в теорию чисел - О. ОРЕ

Проверка показывает, что эти три числа всегда удовлетворяют соотношению Пифагора х2 + у2 = z2.

Осталось определить, какие целые положительные числа m и n в действительности соответствуют простейшим треугольникам. Докажем, что следующие три условия на числа m и n являются необходимыми и достаточными:

(1) (m, n) = 1,

(2) m > n, (5.2.8)

(3) одно из чисел m и n четное, а другое — нечетное.

Доказательство. Сначала покажем, что если числа х, у, z образуют простейшую тройку, то условия (5.2.8) выполняются. Мы уже показали, что условие (1) является следствием того, что числа х, у, z взаимно простые. Условие (2) следует из того, что числа х, у, z — положительны. Чтобы увидеть, что условие (3) необходимо, заметим, что если m и n оба нечетные, то в соответствии с (5.2.7) у и z были бы оба четные, в противоречие с результатами, полученными в конце предыдущего параграфа.

Наоборот, если условия (5.2.8) выполнены, то соотношения (5.2.7) определяют простейшую тройку: условие (2) обеспечивает положительность чисел х, у и z.

Могут ли какие-нибудь два из этих трех чисел иметь общий простой множитель р? Такое простое число р, делящее два из них, должно также делить и третье в силу соотношения х2 + у2 = z2. Если число р делит х, то оно в соответствии с (5.2.7) должно делить 2mn. Число р не может равняться 2, потому что у и z нечетные в соответствии с условием (3) и (5.2.7). Предположим, что р ≠ 2 — нечетное простое число, делящее m. Тогда условие (1) и выражение (5.2.7) показывают, что р не может делить у и z. Такие же рассуждения применимы и для случая, если р делит число n.

Найдя необходимые и достаточные условия (5.2.8) для того, чтобы m и n давали простейший треугольник, можно вычислить все такие треугольники с помощью соотношения (5.2.7). Например, пусть

m = 11, n = 8.

Наши условия выполнены, и мы находим, что

х = 176, у = 57, z = 185.

В табл. 3 приведены все простейшие треугольники х, у, z для нескольких первых значений чисел т и n.

Таблица 3

Система задач 5.2.

1. Продлите таблицу для всех значений m ≤ 10.

2. Могут ли два разных набора значений чисел m и п, удовлетворяющих условию (5.2.8), дать один и тот же треугольник?

3. Найдите все пифагоровы треугольники, у которых длина гипотенузы не превосходит 100.

§ 3. Несколько задач о треугольниках Пифагора

Мы решили задачу нахождения всех треугольников Пифагора. Здесь, как почти всегда в математике, решение одной задачи приводит к постановке ряда других задач. Часто новые вопросы оказываются значительно более трудными, чем первоначальный.

Одним из естественных вопросов о простейших треугольниках является следующий. Пусть задана одна из сторон простейшего треугольника Пифагора, как найти остальные? Первым рассмотрим случай, когда известна сторона у. В соответствии с (5.2.7)

y = m2 — n2 = (m + n)(m — п), (5.3.1)

где m и n—числа, удовлетворяющие условиям (5.2.8).

В уравнении (5.3.1) множители (m + n) и (m — n) взаимно простые. Чтобы в этом убедиться, заметим, что эти множители

а = m + n, b = m — n (5.3.2)

оба нечетные, так как одно из чисел m и n нечетное, а другое четное. Если числа а и b имеют общий нечетный простой множитель р, то число р должно было бы делить каждое из чисел

а + b = m + n + (m — n) = 2m

и

а — b = m + n — (m — n) = 2n,

т. е. р должно было бы делить числа m и n. Но это невозможно, так как D(m, n) = 1.

Предположим теперь, что есть разложение данного нечетного числа у на два множителя

y = a  b, a > b, D(a, b) = 1. (5.3.3)

Из (5.3.2) получаем

m = 1/2 (a + b), n = 1/2 (a — b). (5.3.4)

Эти два числа также взаимно простые, поскольку любой их общий множитель должен был бы делить числа а = m + n и b = m — n. Кроме того, числа m и n не могут быть оба нечетными, ибо тогда каждое из чисел а и b делилось бы на 2. Отсюда заключаем, что числа m и n удовлетворяют условиям (5.2.8) и, таким образом, определяют простейший треугольник, одна из сторон которого у = m2 — n2.

Пример. Пусть y = 15. Для него существуют два разложения на множители, удовлетворяющие условиям (5.3.3), а именно:

у = 15 • 1 = 5 • 3.

Первое из них дает

m = 8, n = 7, x = 112, у = 15, z = 113,

а второе

m = 4, n = 1, x = 8, y = 15, z = 17.

Пусть, далее, задана сторона х. Так как какое-то из чисел m или n делится на 2, то очевидно, что х = 2mn должно делиться на 4. Если разложить число х/2 на два взаимно простых множителя, то больший из них можно взять в качестве числа m, а меньший — n.

Пример. Возьмем х = 24; тогда

1/2 x = 12 • 1 = 4 • 3.

Первое разложение дает

m = 12, n = 4, х = 24, y = 143, z = 145,

а второе

т = 4, n = 3, х = 24, у = 7, z = 25.

Третий и последний случай приводит нас к необходимости коснуться одной важной задачи теории чисел. Если z — гипотенуза простейшего треугольника Пифагора, то в соответствии с (5.2.7) имеем

z = m2 + n2. (5.3.5)

т. е. число z есть сумма квадратов чисел m и n, удовлетворяющих условиям (5.2.8).

Это приводит нас к постановке вопроса, уже решенного П. Ферма: когда целое число можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:

z = a2 + b2? (5.3.6)

На время забудем все ограничения на числа а и b. Пусть они могут иметь общие множители, а также каждое из них, или даже сразу оба могут обращаться в нуль. Перечислим все целые числа, меньшие десяти, представляемые в виде суммы двух квадратов:

0 = 02 + 02, 1 = 12 + 02, 2 = 12 + 12, 4 = 22 + 02, 5 = 22 + 12, 8 = 22 + 22, 9 = 32 + 02, 10 = 32+12.

Оставшиеся числа 3, 6 и 7 не представляются в виде суммы двух квадратов.

Опишем, как можно выяснить, является ли число суммой двух квадратов. К сожалению, мы не можем привести здесь доказательства ввиду его сложности.

Рассмотрим вначале простые числа. Каждое простое число вида р = 4n + 1 всегда является суммой двух квадратов; например,

5 = 22 + 12, 13 = 32 + 22, 17 = 42+12, 29 = 52 + 22.

Существенно, что такое представление может осуществляться единственным способом.

Остальные нечетные простые числа имеют вид q = 4n + 3, т. е.

q = 3, 7, 11, 19, 23, 31…

Ни одно такое простое число не представляется в виде суммы двух квадратов; более того, вообще ни одно число вида 4n + 3 не может быть представлено в виде суммы двух квадратов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если целые числа а и b оба четные, то а2 и b2 оба делятся на 4, отсюда и а2 + b2 делится на 4. Если они оба нечетные, например, а = 2k + 1, b = 2l + 1, то а2 + b2 = 4k2 + 4k + 1 + 4l2 + 4l + 1 = 4 (k2 + l2 + k + l) + 2, поэтому а2 + b2 имеет при делении на 4 остаток 2. И наконец, если одно из целых чисел а и b четное, а другое — нечетное, скажем, а = 2k + 1, b = 2l, то а2 + b2 = 4k2 + 4k + 1 + 4l2 и имеет при делении на 4 остаток 1. Итак, мы перебрали все возможности и можем заключить, что сумма двух квадратов никогда не представима в виде 4n + 3.