Приглашение в теорию чисел - О. ОРЕ

Ферма был взволнован своим «открытием», он верил, что у него есть удивительное доказательство, и сожалел, что не может его записать, так как поля слишком узки. С тех пор эта задача занимает математиков. Для нахождения доказательства изобретались самые искусные методы; этот поиск привел к открытию новых фундаментальных теорий в математике. Используя теоретические разработки и вычисления на ЭВМ, было показано, что теорема Ферма справедлива для многих значений степени n. В настоящее время мы знаем, что этот результат выполняется для всех значений n, удовлетворяющих неравенству 3 ≤ n ≤ 4002.

Попытки самых выдающихся математиков в течение столетий найти общее доказательство оказались тщетными. Поэтому распространилось мнение, что Ферма, несмотря на свой бесспорный талант, стал жертвой самообмана. Как бы ни широки были поля книги, маловероятно, что его доказательство было бы верным.

Конечно, вы имеете право попробовать свои силы в доказательстве этой теоремы, но предупреждаем, что еще ни одна теорема в математике не имела столько неправильных доказательств, как теорема Ферма. Лишь некоторые из них принадлежат хорошим математикам, остальные — дилетантам. Доказательства «последней теоремы Ферма» продолжают появляться в почте известных математиков, занимающихся теорией чисел. Большинство из этих доказательств сопровождается письмами с требованием о немедленном всемирном признании и выплате денежной премии, установленной одним немецким математиком (эта премия давно уже обесценилась в результате инфляции).

Система задач 5.3.

1. Найдите все такие треугольники Пифагора, у которых длина одной из сторон равна: а) 50, б) 22.

2. Используя условие представимости числа в виде суммы двух квадратов, определите, какие из чисел 100, 101…, 110 могут быть представлены в таком виде. Если возможно, найдите все представления. Какое из этих чисел может быть гипотенузой простейшего треугольника Пифагора?

3. Могут ли быть треугольниками Пифагора треугольники с площадями А = 78, A = 120, А = 1000?

4. Найдите все треугольники Пифагора с периметрами с = 88, с = 110.

ГЛАВА 6

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

§ 1. Числа

«Все есть число» — учили древние пифагорейцы[8]. Однако количество чисел, которыми они пользовались, ничтожно по сравнению с фантастической пляской цифр, окружающих нас сегодня в повседневной жизни. Огромные числа появляются, когда считаем мы, и тогда, когда считают нас. В нашу жизнь прочно вошли: номера домов, квартир, телефонов, счетов, почтовые индексы. Каждый день наполнен потоком счетов, чеков и других бухгалтерских документов. Государственный бюджет исчисляется в миллиардах, а горы статистических данных являются принятым доводом в спорах. Эти цифры «крутятся» в компьютерах, которые анализируют состояние производства, следят за траекториями спутников и исследуют атомные ядра со скоростью до одного миллиарда операций в секунду.

Ко всему этому вела длинная дорога, начавшаяся с первых попыток человека систематизировать окружающие его числа, когда они стали столь большими, что их нельзя уже было посчитать на пальцах. Были перепробованы различные способы группировки чисел; большинство из них осталось на обочине этого пути, не выдержав конкуренции с другими системами. К настоящему времени, по счастью, наша десятеричная, или десятичная, система счисления, основанная на группировании десятками, принята почти всюду; в некотором отношении эта система, по-видимому, случайно, оказалась той золотой серединой, которая одинаково хорошо удовлетворяет разнообразным требованиям при работе с числами.

Нет необходимости подробно описывать эту систему. Первые два года обучения в школе дают нам на всю жизнь почти подсознательное знание того, что означает последовательность цифр, например,

75 = 7 • 10 + 5,

1066 = 1 • 103 + 0 • 102 + 6 • 10 + 6,

1970 = 1 • 103 + 9 • 102 + 7 • 10 + 0.

И вообще, в системе, основанной на числе 10,

_________________

аn аn-1 … a2 а1 a0 (6.1.1)

означает число

N = an • 10n + an-1•10n-1 +….. + a2 • 102 + a1 • 10 + a0, (6.1.2)

где коэффициенты, или цифры, аi могут принимать следующие значения:

аi = {0, 1…. 9}. (6.1.3)

Число b = 10 называется основанием этой системы. Индо-арабская числовая система пришла в Европу с Востока около 1200 г. нашей эры, и с тех пор не оспаривалась. Она известна как позиционная система, так как место каждой цифры определяет ее значение; использование символа 0 дает возможность просто и безболезненно обозначать пустующее место. Более того, оказалось, что эта система очень удобна при арифметических операциях с числами: сложении, вычитании, умножении и делении.

§ 2. Другие системы

Известны различные другие системы, которыми пользовались народы мира, чтобы навести порядок среди чисел. Но почему и как возникли эти системы? Ответы на эти вопросы большей частью затерялись в туманном прошлом человечества.

Никто не сомневается, что широко используемая группировка десятками объясняется тем, что люди считали на пальцах. Довольно странно, что сохранилось мало свидетельств того, что человек считал на одной руке; пятеричная система встречается исключительно редко. Но в то же время очень часто встречаются примеры двадцатеричной системы. Не нужно иметь семи пядей во лбу, чтобы понять, что в этой системе в процессе счета участвуют пальцы как рук, так и ног. Из этих двадцатеричных систем счисления, возможно, самая известная — система племени майя, но и в Европе такие системы были широко распространены несколько столетий назад. Двадцатеричная система прослеживается во французском языке в числах от 80 до 100, что можно увидеть из следующих примеров:

80 = quatre-vingts = четыре раза по двадцать,

90 = quatre-vingts-dix = четыре раза по двадцать и десять

91 = quatre-vingts-onze = четыре раза по двадцать и одиннадцать

и так далее.

Менее известно, что в датском языке счет парами десятков процветает вплоть до наших дней. Эта древняя система, которая ранее была широко распространена среди германских племен, столь оригинальна, что мы не можем не привести хотя бы несколько ее деталей.

При счете до 20 естественно использовать такие термины, как:

tredsindstyve = три раза по двадцать,

firsindstyve = четыре раза по двадцать,

femsindstyve = пять раз по двадцать.

Но система становится более сложной, если условиться, что всякий раз, когда мы просчитаем несколько полных двадцаток, а затем еще десяток, объявлять, что находимся на половине следующей двадцатки; например,

90 = halvfemsindstyve = половина пятой двадцатки.

Чтобы закончить наше описание, следует сказать, что в датском языке количество единиц ставится перед количеством десятков, что приводит к числовым конструкциям типа

93 = treoghalvfemsindstyve = три и половина пятой двадцатки.

Ясно, что в любой цивилизации, насыщенной числами, подобно нашей, такие системы обречены. Способ записи чисел, при котором единицы ставятся перед десятками, особенно неприятен. Такая система была также распространена в Англии до XVIII века: вместо twenty-three (двадцать три) обычно говорили three and twenty (три и двадцать). В Норвегии лишь несколько лет назад парламент специальным законом отменил использование такой системы в школах и всех официальных сообщениях. Однако подобная система продолжает процветать в Германии, что приводит к многочисленным числовым ошибкам, например, при набирании номера телефона.

С давних времен до наших дней астрономы пользуются древней вавилонской шестидесятеричной системой (с основанием 60). Правда, сейчас ее достоинства уменьшились, но мы все же придерживаемся этой системы при отсчете времени и углов в минутах и секундах. Мы не знаем, почему вавилоняне ввели столь большое основание в свою систему, можно лишь предположить, что эта система возникла как комбинация двух систем с различными основаниями, скажем, 10 и 12, у которых наименьшее общее кратное равно 60.

Теперь скажем несколько слов о математических вопросах, связанных с использованием систем с различными основаниями. При основании b мы записываем целое число

N = cnbn + cn-1bn-1 +… + с2b2 + с1b + с0  (6.2.1)