Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - Питер Эткинз

Понятие группы выходит далеко за пределы преобразований симметрии, вот почему теория групп является существенной частью математики. Например, возьмем в качестве множества «элементов» положительные и отрицательные числа …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … и пусть правилом комбинирования будет сложение. Тогда, поскольку сумма двух целых чисел сама является целым числом, целые числа образуют группу по сложению. Поэтому арифметика есть часть теории групп, и та же идея, которую мы используем, чтобы обсуждать симметрию реальных объектов, может быть использована для обсуждения идей арифметики, и наоборот. Я не собираюсь вести вас в настоящей главе по этому частному маршруту, но он сыграет свою роль в главе 10. Тем не менее просто вынесите отсюда мысль — мысль, которая пронизывает всю эту книгу, — что простая идея может иметь приложения почти неограниченной общности.

Давайте вернемся к рассмотрению собственно симметрии. Нам необходимо отличать группы преобразований симметрии, которые оставляют одну точку объекта неизмененной, от групп, включающих в себя движение через пространство. Первые называются точечными группами, последние — пространственными группами. Все преобразования симметрии сферы и куба оставляют точку в центре в том же положении, в котором она находилась изначально. Если действие сдвигает центральную точку индивидуального объекта, как в случае отражения сферы в плоскости, не проходящей через ее центр, то мы можем заметить, что нечто было проделано, и это действие нельзя считать преобразованием симметрии. Все преобразования симметрии индивидуальных объектов оставляют неизмененной по крайней мере одну точку, так что симметрии индивидуальных объектов описываются точечными группами.

Узоры, тянущиеся через пространство, описываются пространственными группами. Здесь нам придется прибегнуть к небольшому надувательству и представить себе узоры, бесконечно тянущиеся в любом направлении, или представить себе, что мы настолько близоруки, что не можем увидеть происходящее на краях узора. Узоры, действительно тянущиеся бесконечно в одном измерении, называются фризовыми узорами, поскольку они проявляют свойства симметрии, типичные для фризов. Формальное определение фриза в классической архитектуре таково: это горизонтальная полоса, образующая центральную часть антаблемента, часть структуры, поддерживаемая колоннами и лежащая между архитравом и карнизом. Менее формально, фриз это любая горизонтальная декоративная полоса с мотивом, регулярно повторяющимся по всей ее длине. Тут спящий гигант теории групп открывает один глаз и выдает нам первый из своих замечательных инсайтов: существует только пять возможных вариантов фриза. Все фризы, которые когда-либо были созданы и которые когда-либо могут быть созданы, можно классифицировать как один из пяти различных вариантов (рис. 6.2). Конечно, мотивы могут быть разными — стрелки из лука, ромбы, козлики, завиточки, — но если рисунок периодически повторяется (что исключает фризоподобные виды элгинского мрамора, где узор не повторяется), его организация в пространстве ограничена этими пятью вариантами.

Рис. 6.2. Эти формы символизируют пять узоров фриза, допустимых в одномерном случае. Существуют различные мотивы, поскольку квадрант, показанный здесь в различных ориентациях, может быть заменен любым рисунком, но эти пять узоров исчерпывают все возможные регулярные фризы.

Это лишь первый проблеск тех головокружительных глубин, в которые может проникать теория групп. Упоминание о колоссальном интеллектуальном прыжке (к которому я намерен подвести вас более маленькими шагами по мере разворачивания этой главы, но сейчас будет полезно узнать, куда мы направляемся), может быть, даст нам возможность согласиться с тем, что, так же как симметрия ограничивает число возможных структур в пространстве, может оказаться, что симметрия пространства-времени — что бы это ни означало — ограничивает число типов элементарных частиц, которым позволено существовать. Симметрия ставит пределы.

Пока архитектура проходила путь от греческого храма до бунгало, она пришла в упадок настолько, что, упразднив требование антаблемента и фриза, открыла дорогу обоям. Узоры на обоях тянутся бесконечно в двух измерениях, и вариации этих узоров — ленточки, розочки, павлины — и их цвета заполняют рекламные буклеты декораторов интерьера и производителей обоев. Однако теория групп открывает ужасную правду: существует только семнадцать вариантов обойных узоров.

Мы можем выразиться несколько более точно. Под словом сеть мы будем понимать совокупность точек, которые представляют места расположения павлинов или чего-то еще, чему вкус предписывает быть мотивом узора. Узор обоев является комбинацией мотива и сети. Так, все павлины в чередующихся точках сети могут сидеть вертикально, или в этих точках могут чередоваться павлины, сидящие прямо и павлины опасным образом опрокинутые. Учитывая эту разницу, теория групп показывает, что существует только пять типов сети и семнадцать комбинаций сети и мотива (рис. 6.3). Будет интересным упражнением исследовать обои в комнатах, которые вы посещаете, узор брусчатки дворов, которые вы пересекаете, черепицу на крышах или даже узор (если он периодичен) вашего галстука, чтобы определить вашу способность идентифицировать сеть (это обычно легко) и общий узор (что более головоломно, так как некоторые мотивы являются весьма изощренными). Вы никогда не обнаружите периодический узор, который не был бы одним из набора семнадцати узоров, определенного в теории групп как полная Вселенная дизайна обоев.

Рис. 6.3. Эти узоры показывают пять видов сетей, возможных для двумерных обоев. Для получения реального рисунка к каждой точке можно прикрепить образ, но даже тогда оказывается, что существует всего семнадцать возможных схем.

Рассмотрим теперь трехмерную упаковку узоров, заполняющую все пространство. В повседневном опыте встречается простейший из всех узоров, в котором кубические кусочки сахара упакованы вместе в коробку, или — с несколько более низким уровнем симметрии, поскольку сложенные предметы теперь не являются кубами — сложены вместе спичечные коробки (рис. 6.4). Здесь мы можем заметить, что, в зависимости от деталей, которые мы рассматриваем, мы можем приписать объекту различные типы симметрии. Один тип симметрии мы припишем стопке безличных спичечных коробков, но если мы примем во внимание оформление коробков и, возможно, ориентацию спичек в них, то это заставит нас приписать упаковке несколько более низкий уровень симметрии.

Рис. 6.4. Два из возможных способов укладки в трехмерном пространстве. Верхняя диаграмма показывает сложенные вместе кубические элементарные ячейки («кусочки сахара»). Нижняя диаграмма показывает элементарные ячейки («спичечные коробки»). Всего существует семь форм элементарных ячеек, которые можно уложить таким образом, чтобы получить периодическую структуру. Сами по себе элементы могут содержать объекты, влияющие на общую симметрию: мы показали внутренности двух коробков, показывающие, что чередующиеся коробки содержат спички, указывающие в разные стороны.

Сколько трехмерных узоров существует? Мы можем обнаружить различные симметрии, задавая различные вопросы. В раннем примере техники трансдукции, упомянутой в связи с с атомной гипотезой Дальтона, французский минеролог и священник Рене-Жюст Гаюи (1743-1822) предположил в 1784 г. в своем Essai d'une théorie sur la structure des chistaux, что внешняя форма кристаллов отражает устройство их мельчайших единиц. Он пришел к этой точке зрения, когда уронил особенно красивый кристалл кальцита (прозрачная кристаллическая форма карбоната кальция, мела) и обнаружил, что он распался на маленькие кусочки, по форме повторяющие оригинал. Редкий случай, когда разрушение привело к столь хорошему результату. Мы теперь называем маленькие блоки, которые, будучи сложены вместе без использования вращений, заполняют все пространство, элементарными ячейками. Элементарные ячейки могут быть кубическими (как кусочки сахара), прямоугольными, с одной стороной отличной от двух других, прямоугольными, с тремя различными сторонами (как спичечные коробки), или скошенными так, что, хотя противоположные грани и параллельны (они должны быть такими для того, чтобы элементарные ячейки могли заполнить все пространство), они не перпендикулярны к соседним граням. Оказывается, что существует только семь базовых форм этих элементарных ячеек.

Так же как мы идентифицировали пять сетей для обоев, отмечая положение точек, в которых потом можно расположить мотивы, мы проделаем это и для элементарных ячеек. Результирующие расположения точек, допустимые в трех измерениях, называются решетками Браве, в честь французского альпиниста, искателя приключений и физика Огюста Браве (1811-63), который первым составил их перечень в 1850 г. Оказалось, что их существует всего четырнадцать (рис. 6.5). Где бы вы ни увидели объекты, сложенные вместе для заполнения пространства регулярным образом, такие как консервные банки в ящиках, слои яиц в корзинках и фрукты в витринах, они все соответствуют одному из этих четырнадцати расположений.