Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании - Владимир Дьяконов

Рис. 8.9. Построение графиков функций в полярной системе координат

Графики параметрических функций и функций в полярной системе координат отличаются огромным разнообразием. Снежинки и узоры мороза на стеклах, некоторые виды кристаллов и многие иные физические объекты подчиняются математическим закономерностям, положенным в основу построения таких графиков.

8.3. Построение трехмерных графиков

8.3.1. Функция plot3d

Трехмерными графиками называют графики, отображающие функции двух переменных z(x, y). Каждая точка z, таких графиков является высотой (аппликатой) точки, лежащей в плоскости XY и представленной координатами (хi, уi). Поскольку экран монитора компьютера в первом приближении является плоским, то на деле трехмерные графики представляют собой специальные проекции объемных объектов.

Для построения графиков трехмерных поверхностей Maple имеет встроенную в ядро функцию plot3d. Она может использоваться в следующих форматах:

plot3d(expr1, x=a..b, y=c..d,p)

plot3d(f, a..b, c..d,p)

plot3d([exprf,exprg,exprh], s=a..b, t=c..d,p)

plot3d([f,g,h], a..b, c..d,p)

В двух первых формах plot3d применяется для построения обычного графика одной поверхности, в других формах — для построения графика с параметрической формой задания поверхности. В приведенных формах записи f, g и h — функции; expr1 — выражение, отражающее зависимость от х и у; exprf, exprg и exprh — выражения, задающие поверхность параметрически; s, t, а и b — числовые константы действительного типа; c и d — числовые константы или выражения действительного типа; х, у, s и t — имена независимых переменных; р — управляющие параметры.

8.3.2. Параметры функции plot3d

С помощью параметров р можно в широких пределах управлять видом трехмерных графиков, выводя или убирая линии каркасной сетки, вводя функциональную окраску поверхностей, меняя угол их обзора и параметры освещения, изменяя вид координатных осей и т.д. Следующие параметры функции plot3d задаются аналогично их заданию для функции plot:

axesfont  font    color coords font      labelfcnt linestyle

numpoints scaling style symbol thickness title     titlefont

Однако функция plot3d имеет ряд дополнительных специфических параметров

• ambientlight=[r,g,b] — задает интенсивность красного (r), зеленого (g) и синего (b) цветов подсветки в относительных единицах (от 0 до 1);

• axes=f — задает вид координатных осей (BOXED, NORMAL, FRAME и NONE, по умолчанию NONE);

• grid=[m,n] — задает число линий каркаса поверхности;

• gridstyle=x — задает стиль линий каркаса х ('rectangular' или 'triangular');

• labels=[x,y,z] — задает надписи по осям (х, у и z — строки, по умолчанию пустые);

• light=[phi,theta,r,g,b] — задает углы, под которыми расположен источник освещения поверхности, и интенсивности составляющих цвета (r, g и b);

• lightmodel=x — задает схему освещения (соответственно 'none', 'light1', 'light2', 'light3' и 'light4');

• orientation=[theta,phi] — задает углы ориентации поверхности (по умолчанию 45°);

• projections — задает перспективу при обзоре поверхности (r может быть числом 0 или 1, задающим включение или выключение перспективы, а также одной из строк 'FISHEYE', 'NORMAL' или 'ORTHOGONAL' (это соответствует численным значениям r, равным 0, 0,5, или 1, причем по умолчанию задано projection=ORTHOGONAL);

• shading=s — задает направления, по которым меняется цвет функциональной окраски (значения s могут быть XYZ, XY, Z, ZGREYSCALE, ZHUE, NONE);

• tickmarks=[l,n,m] — задает характер маркировки по осям х, у и z (числа l, n и m имеют значения не менее 1);

• view=zmin..zmax или view=[xmin..xmax, ymin, ymax, zmin..zmax] — задает минимальные и максимальные координаты поверхности для ее видимых участков.

Для трехмерных графиков возможно задание множества типов координатных систем с помощью параметра coords=Тип_координатной_системы. Поскольку на экране монитора поверхность отображается только в прямоугольной системе координат и характеризуется координатами х, у и z, то для представления поверхности, заданной в иной системе координат с координатами u, v и w, используются известные формулы для преобразования (u, v, w) -> (х, у, z). Их можно найти в справке. Вид графиков трехмерных поверхностей очень сильно различается в разных координатных системах. По умолчанию трехмерные графики строятся в прямоугольной системе координат — rectangular.

8.3.3. Построение поверхностей с разными стилями

На рис. 8.10 показано два примера простейших построений графиков трехмерной поверхности. По умолчанию в Maple строится поверхность с функциональной окраской и стилем style=patch (верхний рисунок) Функциональная окраска делает рисунки более информативными, но, увы, на рисунках в книге она превращается в окраску оттенками серого цвета. На рис. 8.10 показано также контекстное меню правой клавиши мыши, показывающее возможное команды, влияющие на вид трехмерных графиков.

Рис. 8.10 Примеры простейшего построения трехмерных поверхностей

Параметр style=hidden строит каркасную поверхность с функциональной окраской тонких линий каркаса и удалением невидимых линий. Чтобы график выглядел более четким, построение во втором примере задано линиями черного цвета с помощью параметра color=black (см. нижний рисунок на рис. 8.10).

Помимо значения patch для построения трехмерных поверхностей можно задавать ряд других стилей: point — точками, contour — контурными линиями, line — линиями, hidden — линиями каркаса с удалением невидимых линий, wireframe — линиями каркаса со всеми видимыми линиями, patchnogrid — с раскраской, но без линий каркаса, patchcontour — раскраска с линиями равного уровня.

Цвет трехмерного графика может задаваться (как и для двумерного) параметром color=c, где с — цвет (оттенки цвета перечислялись ранее). Возможно еще два алгоритма задания цвета:

HUE — алгоритм с заданием цвета в виде color=f(x,y);

RGB — алгоритм с заданием цвета в виде color=[exprr,exprg,exprb], где выражения exprr, exprg и exprb задают относительную значимость (от 0 до 1) основных цветов (красного — exprr, зеленого — exprg и синего — exprb)

Удачный выбор углов обзора фигуры и применение функциональной окраски позволяют придать построениям трехмерных фигур весьма эффектный и реалистический вид.

8.3.4. Построение фигур в различных системах координат

Как отмечалось, вид графика трехмерной поверхности существенно зависит от выбора координатной системы. Рис. 8.11 показывает пример построения нелинейного конуса в цилиндрической системе координат. Для задания такой системы координат используется параметр coords=cylindrical.

Рис. 8.11. Нелинейная цилиндрическая поверхность

При построении этой фигуры также использована цветная функциональная окраска. Кроме того, этот пример иллюстрирует вывод над рисунком титульной надписи (кстати, сделанной на русском языке).

Приведем еще один пример построения трехмерной поверхности — на этот раз в сферической системе координат (рис. 8.12). Здесь функция задана вообще элементарно просто — в виде числа 1. Но, поскольку выбрана сферическая система координат, в результате строится поверхность шара единичного радиуса. Обратите внимание на возможность построения только части сферы за счет ограничения изменения переменных координатной системы.

Рис. 8.12. Построение шарообразной поверхности в сферическом системе координат

Полезно просмотреть построение графиков в различных системах координат. При этом можно получить самые необычные фигуры.

8.3.5. Графики параметрически заданных поверхностей

На рис. 8.13 показано построение простого тороида — цилиндра, свернутого в кольцо. Здесь также использован прием удаления части фигуры, что делает ее представление более наглядным и красочным. Кроме того, введены параметры, задающие функциональную окраску.

Рисунок 8.13 дает полное и наглядное представление об этой фигуре — причем не только снаружи, но и изнутри.

Рис. 8.13. Тор с функциональной окраской поверхности

8.3.6. Масштабирование трехмерных фигур и изменение углов их обзора

Полезно обратить внимание на параметр масштаба scaling=constrained, явно введенную в документ рис. 8.13. Ее можно было бы и не вводить, поскольку этот параметр изначально задается по умолчанию. Она выравнивает масштабы представления фигуры по осям координат, обычно используется по умолчанию и позволяет снизить до минимума геометрические искажения фигур — тор, например, при этом виден как круглая труба, свернутая в кольцо. У таких графиков есть специфический недостаток — они занимают малую часть окна вывода.

Задание параметра scaling=unconstrained означает отказ от равного масштаба по осям. График при этом увеличивается в размерах, но становятся заметны его искажения по осям координат. В итоге он тор превращается в толстую сплющенную трубу с эллиптическим сечением (рис. 8.14).