Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании - Владимир Дьяконов

7.9.3. Фазовые портреты в пространстве

Можно разнообразить представления о колебаниях, перейдя к построению трехмерных (пространственных) фазовых портретов. Они делают такое представление более полным. На рис. 7.32 представлен фазовый портрет в пространстве при параметрическом задании семейства функций [x(t), y(t), z(t)].

Рис. 7.32. Фазовый портрет колебаний в пространстве

Фазовый портрет отчетливо выявляет, что большая часть колебаний развивается в двух плоскостях пространства, причем в каждой из них имеется свой фокус.

Еще один вариант пространственного фазового портрета показан на рис. 7.33. Он хорошо представляет динамику развития колебаний в плоскости (у, z) при изменении времени t. Фазовый портрет весьма любопытен — хорошо видны две «трубки» в которых развиваются переходные процессы. В них можно выделить характерные раскручивающиеся спирали.

Рис. 7.33. Фазовый портрет колебаний в пространстве [t, y(t), z(t)]

Остается отметить, что для повышения наглядности переходных процессов в графиках рис. 7.32 и 7.33 используется вывод осей координат в виде «ящика» (опция axes=BOX) и поворот изображения с помощью мыши.

7.9.4. Распространение волн в нелинейной среде

Многие наяву или в кино видели, как большие волны воды в море или океане теряют свой гармонический характер. Их гребни, расположенные в воздухе, явно движется быстрее, чем впадины, в результате во времени гребень достигает предшествующей ему впадины и может даже перегнать ее. Радиотехники давно научились использовать распространение волн в нелинейных средах для получения очень коротких перепадов напряжения или тока.

Моделирование этого сложного явления (обострения фронта волн и потеря ими устойчивости) достаточно просто осуществляется волновым дифференциальным уравнением в частных производных Бюргерса. Рисунок 7.34 показывает пример задания и решения этого уравнения.

Рис. 7.34. Моделирование процесса распространения волн в нелинейной среде

Здесь поначалу задана синусоидальная волна, которая хорошо видна на переднем плане рисунка для малых времен t. Представление результата моделирования в трехмерном пространстве позволяет наглядно представить, как меняется форма волны во времени. Нетрудно заметить, что фронт волны и впрямь обостряется и может даже приобрести отрицательный наклон.

7.10. Интерактивное решение дифференциальных уравнений

7.10.1. Новые средства интерактивного решения дифференциальных уравнений

Поскольку Maple университетская система, разработчики новых версий Maple предприняли большие усилия в повышении степени визуализации всех стадий решения дифференциальных уравнений. В частности были введены новые средства решения дифференциальных уравнений в интерактивном режиме, при котором каждая стадия решения наглядно отображается в соответствующем окне. Это едва ли нужно инженерам и научным работникам, понимающим суть и стадии решения, но, безусловно, полезно преподавателям и студентам высших учебных заведений.

Новые средства решения дифференциальных уравнений представляют собой ряд окон, созданных средствами пакета расширения Maplets. Каждое окно содержит поля для представления уравнений или параметров, там где это надо поля для представления графиков и кнопки управления. Довольно подробное описание процесса интерактивного решения дифференциальных уравнений дано в разделе ODE Analyzer справки. Доступ к нему представлен на рис. 7.35.

Рис. 7.35. Окно справки по разделу ODE Analyzer

7.10.2. Примеры интерактивного решения дифференциальных уравнений

Для интерактивного решения дифференциальных уравнений используется функция dsolve в следующей записи:

dsolve[interactive](odesys, options)

Здесь указание [interactive] задает вывод первого окна с записью дифференциальных уравнений, представленных параметром odesys и необходимыми опциями options. Примеры применения функции dsolve уже неоднократно приводились.

На рис. 7.35 в центре видно окно с записью дифференциальных уравнений, начальных условий для его решения и значениями параметров. Предусмотрено редактирование как самой системы, так и начальных условий и параметров. Для этого достаточно активизировать кнопку Edit в соответствующей части окна. Примеры редактирования можно найти в справке, они просты и наглядны, а потому детали описания редактирования опускаются.

Внизу окна имеется две кнопки:

Solve Numerically — решение численное;

Solve Symbolically — решение символьное (аналитическое).

На рис. 7.36 представлен пример численного решения. Для этого случая возможно задание одного из пяти методов решения, задания (если нужно) граничных условий и построение графика решения.

Рис. 7.36. Пример решения системы ОДУ численным методом

Другой случай решения — аналитически представлен на рис. 7.37. Решение появляется в подокне при нажатии клавиши Solve. В данном случае оно поместилось в подокне, но если решение слишком громоздко, то активизировав кнопку Large Display можно вывести решение в отдельное большое окно.

Рис. 7.37. Пример решения системы ОДУ символьным методом

Для изменения параметров графиков служит отдельное окно. С его работой и другими деталями интерактивного решения можно познакомиться по справке.

7.11. Анализ линейных функциональных систем

Завершим главу описанием пакета LinearFunctionalSystems. Он содержит специальные средства для решения дифференциальных уравнений, описывающих линейные функциональные системы.

7.11.1. Назначение пакета LinearFunctionalSystems

Пакет LinearFunctionalSystems содержит набор функций для решения задач, связанных с анализом линейных функциональных систем. Обычно такие системы описываются линейными дифференциальными уравнениями, имеющими то или иное решение. Пакет LinearFunctionalSystems позволяет провести тестирование подготовленной системы, оценить ряд ее параметров и получить решение одним из ряда методов.

Вызов всех функций пакета осуществляется командой:

> with(LinearFunctionalSystems);

[AreSameSolution, CanonicalSystem, ExtendSeries, HomogeneousSystem, IsSolution, MatrixTriangularization, PolynomialSolution, Properties, Rational Solution, SeriesSolution, UniversalDenominator]

7.11.2. Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems

Прежде чем рассматривать основные функции пакета, рассмотрим две тестовые функции. Они представлены следующими формами записи:

IsSolution(sol, sys, vars)

IsSolution(sol, A, b, x, case)

IsSolution(sol, A, x, case)

AreSameSolution(sol, sol1)

В них: sol — тестируемое решение, sys — система функциональных уравнений, x — независимая переменная решения, А и b — матрица и вектор с рациональными элементами, case — имя метода решения ('differential', 'difference' или 'qdifference')

7.11.3. Функции решения линейных функциональных систем

Группа основных функций пакета LinearFunctionalSystems имеет идентичный синтаксис и записывается в виде:

name(sys,vars,[method])

или

name(A[,b],x,case,[method])

Здесь name — одно из следующих имен:

• PolynomialSolution — решение в форме полинома;

• RationalSolution — решение в форме рационального выражения;

• SeriesSolution — решение в виде ряда;

• UniversalDenominator — решение с универсальным знаменателем (и числителем, равным 1).

Система функциональных уравнений задается либо в виде полной системы sys со списком переменных vars, либо в матричном виде с заданием матрицы коэффициентов системы А и вектора свободных членов b (может отсутствовать) с указанием независимой переменной x и параметра case, имеющего значения 'differential', 'difference' или 'qdifference'. Параметр method, задающий метод EG-исклю-чения может иметь значения 'quasimodular' или 'ordinary'.

7.11.4. Вспомогательные функции

Несколько вспомогательных функций пакета LinearFunctionalSystems представлено ниже:

• MatrixTriangularization(mat, m, n, х, It) — триангуляция матрицы mat размера m×n с указанием типа It ('lead' или 'trail');

• CanonicalSystem(shift, sys, vars) или CanonicalSystem(shift, A[, b], x, case) — возвращает систему в каноническом виде (параметр shift задается как 'difference' или 'q-difference', назначение других параметров соответствует указанным выше для других функций);

• ExtendSeries(sol, deg) — расширяет ряд решения sol до расширенного ряда степени deg;

• HomogeneousSystem(homo, sys, vars) или HomogeneousSystem(homo, A[, b], x, case) — преобразует исходную систему в гомогенную с именем homo.

• Properties(sys, vars) или Properties(A[, b], x, case) — возвращает основные свойства системы.

Ряд примеров применения пакета LinearFunctionalSystems представлен в файле lfs и в справке по данному пакету.

7.12. Новые возможности Maple 10 в решении дифференциальных уравнений