Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании - Владимир Дьяконов

7.5.5. Графическая функция dfieldplot

Графическая функция dfieldplot служит для построения поля направления с помощью векторов по результатам решения дифференциальных уравнений. Фактически эта функция как бы входит в функцию DEplot и при необходимости вызывается последней. Но она может использоваться и самостоятельно, что демонстрирует рис. 7.18, на котором показан пример решения следующей системы дифференциальных уравнений: x'(t)=x(t)(1-у(t)), у'(t)=0,3у(t)(х(t)-1).

Рис. 7.18. Построение фазового портрета в виде графика векторного поля

Обратите внимание на использование опций в этом примере — в частности, на вывод надписи на русском языке. В целом список параметров функции phaseportrait аналогичен таковому для функции DEplot (отсутствует лишь задание начальных условий).

7.5.6. Графическая функция phaseportrait

Графическая функция phaseportrait служит для построения фазовых портретов по результатам решения одного дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений deqns. Она задается в следующем виде:

phaseportrait(deqns,vars,trange,inits,о)

При задании уравнений достаточно указать их правые части. На рис. 7.19 представлен пример применения функции phaseportrait для решения системы из трех дифференциальных уравнений первого порядка.

Рис. 7.19. Построение фазового портрета с помощью функции phaserportrait

В этом примере система дифференциальных уравнений задана с помощью оператора дифференцирования D. Функциональная окраска линии фазового портрета достигается использованием параметра linecolor в правой части которой задана формула для цвета.

Еще более интересный пример решения дифференциального уравнения представлен на рис. 7.20. Здесь построены фазовые портреты для асимптотических решений.

Рис. 7.20. Построение асимптотического решения на фоне графика векторного поля

В целом надо отметить, что возможности визуализации решений дифференциальных уравнений с помощью системы Maple весьма велики и приведенные выше примеры лишь частично иллюстрируют сказанное.

7.6. Углублённый анализ дифференциальных уравнений

7.6.1. Задачи углубленного анализа ДУ

Maple 9.5 существенно доработан по части решения дифференциальных уравнений (ДУ) и систем с ДУ. Эта доработка, прежде всего, направлена на получение верных решений как можно большего числа ДУ разных классов и систем с ДУ. В частности расширен круг нелинейных дифференциальных уравнений, для которых система Maple 9.5 способна дать аналитические решения.

Весь арсенал средств решения ДУ и методика их применения вполне заслуживают отражения в отдельной большой книге. Мы ограничимся описанием только трех средств системы Maple — проверки ДУ на автономность, углубленным анализом решения с помощью контроля уровня выхода и получением приближенного полиномиального аналитического решения.

7.6.2. Проверка ДУ на автономность

Одиночное дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений называется автономной, если их правая часть явно не зависит от независимой переменной. Для автономных дифференциальных уравнений или систем при построении графиков решений функцией DEplot не обязательно задавать начальные условия, но нужно указывать диапазон изменения искомых переменных.

Для проверки уравнений (или систем) на автономность используется функция

autonomous(des,vars, ivar)

где des — заданное дифференциальное уравнение или (в виде списка) система дифференциальных уравнений, vars — зависимые переменные и ivar — независимая переменная. Если система автономна, то эта функция возвращает true, в противном случае false.

Примеры:

> dif1:=diff(х(t),t)=x(t)*(1-y(t));

dif2:=diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1);

> autonomous({dif1,dif2),[x(t),y(t)],t);

> autonomous(diff(x(t),t)=sin(t),x,t);

В первом случае система дифференциальных уравнений (модель Лотки-Вольтерра) автономна, а во втором случае дифференциальное уравнение не автономно.

7.6.3. Контроль уровня вывода решения ДУ

Для углубленного анализа аналитического решения ДУ (или системы ДУ) можно использовать специальную возможность управления уровнем вывода решения с помощью системной переменной infolevel(dsolve):=level. Значение level=all дает обычный вывод решения без комментариев, уровень 1 зарезервирован для информации, которую может сообщить пользователь, уровень 2 или 3 дает более детальный вывод (включая сообщения об использованном алгоритме и технике решения) и, наконец, уровни 4 и 5 дают наиболее детальную информацию (если таковая есть в дополнение к той информации, которую дает уровень 2 или 3).

Приведем пример аналитического решения ДУ третьего порядка с контролем уровня вывода решения (файл deil):

> myDE:= x^2 * diff(y(х),х,х,х) - 2*(n+1)*x*diff(y(х), х, х) + (а*х^2+6*n)*diff(y(х),х)-2*а*х-y(х) = 0;

> infolevel[dsolve] := all: dsolve(myDE);

> infolevel[dsolve] := 1:dsolve(myDE);

<- No Liouvillian solutions exists

> infolevel[dsolve] := 3:dsolve(myDE); Methods for third order ODEs:

-- Trying classification methods --

trying a quadrature

checking if the LODE has constant coefficients

checking if the LODE is of Euler type

trying high order exact linear fully integrable

trying to convert to a linear ODE with constant coefficients

Equation is the LCLM of -2*x/(2*(2*n-1)/а+х^2)*y(x)+diff(y(x), x), a*y(x)[email protected] = 2*n/x*diff(y(x),x)+diff(diff(y(x),x),x)

checking if the LODE is of Euler type

-> Attemtping a differential factorization

  trying exponential solutions

  checking if the LODE is of Euler type 1, exponential solutions found

  exponential solutions successful

<- differential factorization successful

-> Tackling the linear ODE "as given":

  trying a quadrature

  checking if the LODE has constant coefficients

  checking if the LODE is of Euler type

  trying a symmetry of the form [xi=0, eta=F(x)]

  checking if the LODE is missing 'y'

  -> Trying a Liouvillian solution using Kovacic's algorithm

  <- No Liouvillian solutions exists

  -> Trying a solution in terms of special functions:

    -> Bessel

    <- Bessel successful

  <- special function solution successful

<- successful solving of the linear ODE "as given"

<- solving the LCLM ode successful

В данном случае повышение уровня вывода до 4 или 5 бесполезно, поскольку вся информация о решении сообщается уже при уровне 2 (или 3).

7.6.4. Приближенное полиномиальное решение дифференциальных уравнений

Во многих случаях аналитические решения даже простых ДУ оказываются весьма сложными, например, содержат специальные математические функции. При этом нередко полезна подмена такого решения другим, тоже аналитическим, но приближенным решением. Наиболее распространенным приближенным решением в этом случае может быть полиномиальное решение, то есть замена реального решения полиномом той или иной степени. При этом порядок полинома задается значением системной переменной Order, а для получения такого решения функция dsolve должна иметь параметр series.

На рис. 7.21 представлено решение ДУ третьего порядка различными методами: точное аналитическое и приближенное в виде полинома с максимальным заданным порядком 10 и 60. График дает сравнение этих решений для зависимости у(t).

Рис. 7.21. Примеры решения ДУ третьего порядка

Дадим небольшой комментарий. Нетрудно заметить, что точное аналитическое решение весьма сложно и содержит специальные функции Бесселя и гамма-функции. При порядке полинома 8 (он несколько меньше заданного максимального) решение практически совпадает с точным до значений t<2, а при максимальном заданном порядке 60 область совпадения расширяется до значений t<5,5. Затем приближенное решение резко отходит от точного.

Этот пример с одной стороны иллюстрирует хорошо известный факт — быстрое нарастание погрешности полиномиального приближения за пределами области хорошего совпадений решений. С другой стороны он показывает, что степень полинома более 60 (и даже выше) вовсе не так уж бесполезна, как это утверждается во многих статьях и книгах по полиномиальному приближению. Точность полиномиальных вычислений Maple достаточно высока, чтобы обеспечить получение приближенных полиномиальных выражений со степенью порядка десятков и иногда даже сотен. Другое дело, что столь «длинный» полином не всегда удобен для аналитических расчетов, даже несмотря на его структурную простоту.

7.7. Решение дифференциальных уравнений специального вида

7.7.1. Определение жестких систем дифференциальных уравнений

В последнее время особое внимание уделяется решению важного класса систем дифференциальных уравнений — жестких. Если представить систему дифференциальных уравнений в матричном виде у = Ах, то такая система относится к жесткой при выполнении следующих двух условий: