Большая Советская Энциклопедия (ВА) - БСЭ БСЭ

  x (to ) = x (T) = 0      (3)

  и будем разыскивать решение задачи в форме

  где jn (t) — некоторая система функций, удовлетворяющих условиям типа (3). Тогда функционал J (x) становится функцией коэффициентов ai :

  J = J (ai ,..., aN ),

  и задача сводится к отысканию минимума этой функции N переменных. При известных условиях, наложенных на систему функций {jn } , решение этой задачи стремится при N ® ¥ к решению задачи (1) (см. Ритца и Галёркина методы ).

  Другая причина усиления интереса к прямым методам — это систематическое изучение конечноразностных методов в задачах математической физики, начавшееся с 20-х гг. 20 в. Применение ЭВМ превращает постепенно прямые методы в основной инструмент решения вариационных задач.

  Метод вариаций. Второе направление исследований — это изучение необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять функция x (t ), реализующая экстремум функционала J (x). Его возникновение также связано с именем Эйлера. Предположим, что тем или иным способом построена функция x (t ). Как проверить, является ли эта функция решением задачи? Первый вариант ответа на этот вопрос был дан Эйлером в 1744. В приведённой ниже формулировке этого ответа употребляется введённое в 60-х гг. 18 в. Ж. Лагранжем понятие вариации (отсюда название — В. и.), являющееся обобщением понятия дифференциала на случай функционалов.

  Пусть x (t ) — функция, удовлетворяющая условию (2), a h (t) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию h (to ) = h (T) = 0. Тогда величина

  J (x + eh) = J*(e),

  где e — произвольное действительное число будет функцией e . Вариацией dJ функционала J называют производную

  (dJ*/de)e = 0.

  Для простейшей задачи В. и.

  Разлагая полученное выражение в ряд по степеням e, получим

  где о (e) — члены более высокого порядка. Так как h (to ) = h (T ) = 0, то, проведя интегрирование по частям во втором интеграле, найдём

  Пусть теперь x (t ) реализует экстремум. Тогда функция J*(e) имеет экстремум при e = 0. Поэтому величина dJ должна обратиться в нуль. Отсюда следует: для того чтобы функция x (t ) доставляла экстремум функционалу (1), необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению

  называемому уравнением Эйлера.

  Это — дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции x (t ). Необходимое условие dJ = 0 может быть применено в ряде случаев для эффективного отыскания решения вариационной задачи, поскольку функция x (t ) необходимо должна быть решением краевой задачи x (to ) = xo , x (T ) = xT для уравнения (4). Если найдено это решение и оно единственно, то найдено тем самым и решение исходной вариационной задачи. Если краевая задача допускает несколько решений, то достаточно вычислить значение функционала для каждого из решений краевой задачи и выбрать из них то, которому отвечает наименьшее значение J (x ). Однако указанный путь обладает одним существенным недостатком: не существует универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных (нелинейных) дифференциальных уравнений.

  Уже во 2-й половине 18 в. круг задач, изучаемых В. и., значительно расширился. Прежде всего основные результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., были перенесены на общий случай интегральных функционалов вида

  где x (t ) — вектор-функция произвольной размерности, и на функционалы ещё более общего вида.

  Условный экстремум. Задача Лагранжа. В конце 18 в. был сформулирован ряд задач на условный экстремум. Этим термином принято называть задачи отыскания функции x (t ), доставляющей экстремум функционалу J (x ) при каких-либо дополнительных условиях, кроме условий на концах интервала (t0 , T). Простейшей задачей подобного вида является класс так называемых изопериметрических задач . Своим названием этот класс задач обязан следующей: среди всех замкнутых кривых данной длины найти ту, которая ограничивает максимальную площадь.

  Значительно более сложной задачей является та, в которой ограничения носят характер дифференциальных уравнений. Эту задачу называют задачей Лагранжа; особое значение она приобрела в середине 20 в. в связи с созданием теории оптимального управления . Поэтому её формулировка даётся ниже на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягина и его учеников.

  Пусть x (t) и u (t) — вектор-функции размерностей n и m соответственно, причём функция x (t ), которую называют фазовым вектором, при t = to и t = T удовлетворяет граничным условиям:

  x (t0 ) Î e0 , x (T) Î eT      (5)

  где e0 и eT — некоторые множества. Простейшим примером условий типа (5) являются условия (2). Функция x (t ) и функция u (t ), которую называют управлением, связаны условием

  dx/dt = f (x, u, t),     (6)

  где f — дифференцируемая вектор-функция своих аргументов. Рассматриваемая задача состоит в следующем: определить функции x (t ) и u (t ), доставляющие экстремум функционалу

  Заметим, что и простейшая задача В. и. и изопериметрическая задача являются частным случаем задачи Лагранжа.

  Задача Лагранжа имеет огромное прикладное значение. Пусть, например, уравнение (6) описывает движение какого-либо динамического объекта, например космического корабля. Управление u — это вектор тяги его двигателя. Множества e0 и eT — это две орбиты разных радиусов. Функционал (7) описывает расход горючего на выполнение маневра. Следовательно, задачу Лагранжа, применительно к данной ситуации, можно сформулировать следующим образом: определить закон изменения тяги двигателя космического аппарата, совершающего переход с орбиты e0 на орбиту eT за заданное время так, чтобы расход топлива на этот маневр был минимальным.

  Важную роль в теории подобных задач играет функция Гамильтона

  H (x, y, u) = (f, y) - F.

  Здесь y — вектор, называется множителем Лагранжа (или импульсом), (f, y) означает скалярное произведение векторов f и y . Необходимое условие в задаче Лагранжа формулируется следующим образом: для того чтобы функции  и  были решением задачи Лагранжа, необходимо, чтобы  была стационарной точкой функции Гамильтона Н (х, y, u), то есть, чтобы при

  было ¶H/ ¶u = 0, где y — не равное тождественно нулю решение уравнения

  ¶y/t = —¶H/¶x = j(x, y, u, t).      (8)

  Эта теорема имеет важное прикладное значение, так как она открывает известные возможности для фактического нахождения векторов x (t ) и u (t ).

  Развитие В. и. в 19 в. Основные усилия математиков в 19 в. были направлены на исследование условий, необходимых или достаточных для того, чтобы функция x (t ) реализовала экстремум функционала J (x ). уравнение Эйлера было первым из таких условий; оно аналогично необходимому условию

  которое устанавливается в теории функций конечного числа переменных. Однако в этой теории известны ещё и другие условия. Например, для того, чтобы функция f (x ) имела в точке  минимум, необходимо, чтобы в этой точке было