9. Квантовая механика II - Ричард Фейнман

Начнем с анализа распада состояния позитрония со спином нуль. Он распадается на два g-кванта со временем жизни 10-10 сек. Вначале имеются позитрон и электрон с антипараллельными спинами, расположенные очень близко один к другому и образующие систему позитрония. После распада возникают два фотона, разлетающиеся с равными и противоположными импульсами (фиг. 16.5).

Фиг. 16.5. Двухфотонная аннигиляция позитрония.

Импульсы обязаны быть равны и про­тивоположны, потому что полный импульс после распада дол­жен быть таким, как и до распада, т. е. равен нулю (если мы рас­сматриваем аннигиляцию в покое). Если позитроний движется, мы можем нагнать его, решить задачу и затем все преобразовать обратно в лабораторную систему (вот видите — мы теперь все умеем; все, что надо, у нас под рукой).

Для начала заметим, что угловое распределение интереса не представляет. Раз спин начального состояния равен нулю, то нет какой-либо выделенной оси, оно симметрично относи­тельно любых поворотов. Значит, и конечное состояние должно быть симметрично относительно всякого поворота. Это означает, что все углы распада одинаково вероятны — амплитуда выле­теть в любую сторону для фотона одна и та же. Конечно, если один из фотонов отправляется в одну сторону, то другой отпра­вится в противоположную.

Единственное, что нам остается, это рассмотреть поляриза­цию фотонов. Проведем ось +z по направлению движения од­ного фотона, а ось -z по направлению движения второго фотона. Для описания состояний поляризации фотонов можно использовать любые представления. Мы выберем правую и левую круговые поляризации, всегда отсчитывая их относитель­но направлений движения. Сразу же видно, что если движущийся вверх фотон — правый, то момент количества движения оста­нется прежним, если фотон, отправившийся вниз, тоже окажется правым. Каждый унесет по +1 единице момента относительно направления своего импуль­са, что означает +1 и -1 относительно оси z. В сумме будет нуль, и мо­мент количества движения после распада окажется та­ким же, как и до распада (фиг. 16.6).

Фиг. 16.6. Одна из возмож­ностей для аннигиляции пози­трония вдоль оси z.

Те же рассуждения по­казывают, что если движущийся вверх фотон является правым, то движущийся вниз не может быть левым, ведь тогда конечное состояние обла­дало бы двумя единицами момента количества движения. А это не разрешается, если спин начального состояния равен нулю. Заметьте, что такое конечное состояние невозможно и тогда, когда основное состояние позитрония обладает спином 1, потому что в этом случае наибольшая величина момента количества движения в любом направлении равна единице.

А теперь мы покажем, что двухфотонная аннигиляция из состояния со спином 1 вообще невозможна. Могло бы показать­ся, что это не так, что если взять состояние с j=1, m=0, у которого момент количества движения относительно оси z равен нулю, то оно будет походить на состояние со спином 0 и поэтому распадется на два правых фотона. Конечно, изображен­ный на фиг. 16.7, а распад сохраняет момент количества движе­ния относительно оси z.

Фиг. 16.7. Для состояния позитрония с j=1 процесс (а) и процесс (б), получаемый поворотом (а) вокруг оси у на 180°, в точности совпадают.

Но посмотрим, что будет, если мы повернем эту систему вокруг оси у на 180°; получится то, что показано на фиг. 16.7, б, т. е. конфигурация, в точности сов­падающая с фиг. 16.7, а. Обменялись местами два фотона и больше ничего. А ведь фотоны — это бозе-частицы; перестановка их местами не меняет знака амплитуды, так что амплитуда распада на конфигурацию, показанную на фиг. 16.7, б, должна быть такой же, как и на конфигурацию фиг, 16.7, а. Но мы предполо­жили, что у начального объекта спин был равен единице. А когда мы поворачиваем объект со спином 1 в состоянии с m=0 на 180° вокруг оси у, то его амплитуда меняет знак (см. табл. 15.2 для q=p, стр. 129). Значит, амплитуды обеих конфигура­ций на фиг. 16.7 должны иметь обратные знаки; частица со спи­ном 1 не может распадаться на два фотона.

Когда образуется позитроний, то можно ожидать, что в те­чение 1/4 времени он будет превращаться в состояние со спином 0 и в течение 3/4 времени — в состояние со спином 1 (с m=-1,0 или +1). Так что 1/4 времени будет происходить двухфотонная аннигиляция. Остальные 3/4 времени двухфотонная аннигиляция происходить не может. Аннигиляция про­исходит, но на три фотона. Такой аннигиляции труднее дож­даться, и время жизни получается в 1000 раз дольше — около 10-7 сек. Это и наблюдается на опыте. Аннигиляцией состояния со спином 1 мы подробнее заниматься не будем.

До сих пор мы, опираясь на сохранение момента количества движения, считали, что состояние позитрония с нулевым спином может превращаться в два правых фотона. Имеется и другая возможность: это состояние может превратиться в пару левы фотонов, как показано на фиг. 16.8. Следующий вопрос — како-

во соотношение между амплитудами этих двух типов распада? Это можно узнать, учтя сохранение четности.

Но для этого нам нужно знать четность позитрония. Физи­ки-теоретики показали (сложным путем, который нелегко пояс­нить), что четности электрона и позитрона (его античастицы) должны быть противоположны, так что основное состояние позитрония со спином 0 должно обладать отрицательной чет­ностью. Мы просто предположим, что четность отрицательна, и, поскольку мы получим согласие с экспериментом, мы сочтем это достаточно убедительным доводом.

Посмотрим же, что произойдет, если мы проделаем инверсию процесса на фиг. 16.6. При инверсии оба фотона меняют свои направления и поляризации. Обращенная картина выглядит так, как показано на фиг. 16.8.

Фиг. 16.8 Другой мыслимый процесс аннигиляции позитрония.

Если считать, что четность по­зитрония отрицательна, то амплитуды процессов на фиг. 16.6 и 16.8 должны иметь обратные знаки. Пусть |R1R2> — конеч­ное состояние на фиг. 16.6, где оба фотона правые, а | L1L2> — конечное состояние на фиг. 16.8, где оба фотона — левые. Ис­тинное конечное состояние (обозначим его |F>) должно быть таким:

Тогда инверсия поменяет местами все R со всеми L и приведет к состоянию

имеющему по сравнению с (16.19) знак минус. Значит, конечное состояние |F>обладает отрицательной четностью, совпадаю­щей с четностью первоначального состояния позитрония со спином 0. Это единственное конечное состояние, кото­рое сохраняет и момент количества движения и четность. Можно, конечно, вычислить амплитуду то­го, что произойдет распад в это состояние, но мы не будем этим заниматься, нас сейчас интересует только поляризация.

Что же означает состояние (16.19) физически? Один из вы­водов таков: если мы наблюдаем пару фотонов при помощи двух детекторов, которые могут порознь считать число левых или число правых фотонов, то мы всегда будем видеть одновре­менно либо пару правых, либо пару левых фотонов. Иначе го­воря, если вы встанете по одну сторону позитрония, а ваш прия­тель по другую, то вы сможете, измеряя поляризацию, сказать вашему приятелю, какая поляризация у него получилась. С ве­роятностью 50% вы будете ловить то левый, то правый фотон; что вы поймаете, то и предсказывайте.

Раз левая и правая поляризации встречаются поровну, то все это сильно смахивает на линейную поляризацию. Спросим себя, что будет, если наблюдать фотон с помощью счетчиков, которые воспринимают только линейно поляризованный свет? Поляризацию g-квантов измерять не так легко, как поляриза­цию света; нет таких поляризаторов, которые на столь коротких волнах хорошо работают. Но вообразим, чтобы облегчить об­суждение, что такое бывает. Пусть имеется счетчик, который воспринимает только x-поляризованный свет, а по ту сторону позитрония стоит кто-то, кто тоже наблюдает линейно поляри­зованный свет, но только, скажем, y-поляризованный. Каков шанс, что вы оба одновременно заметите фотоны от аннигиля­ции? Нужно найти амплитуду того, что |F>будет в состоянии |х1y2>. Иными словами, мы ищем амплитуду

<х1y2|F>,

которая, конечно, равна просто разности

Далее, хотя нам сейчас нужны двухчастичные амплитуды для двух фотонов, с ними здесь можно обращаться так же, как с амплитудами для отдельных частиц, ведь каждая частица действует независимо от другой. Это значит, что амплитуда <x1y2|R1R2> попросту равна произведению двух независимых амплитуд <x1|R1> и <y2|R2>. Эти амплитуды (см. табл. 15.3, стр. 130) равны 1/Ц2 и i/Ц2, так что