9. Квантовая механика II - Ричард Фейнман

где k пробегает все те значения, при которых под знаком факториала получаются неотрицательные величины.

Это очень запутанная формула, но с ее помощью вы сможете проверить табл. 15.2 для j=1 (стр. 129) и составить ваши собственные таблицы для больших j. Некоторые матричные элементы очень важны и получили особые наименования. Например, матричные элементы для m= m'=0и целых j известны под названием полиномов Лежандра и обозначаются </, 0 |

Первые из них таковы:

P0(cosq)=l, (16.37)

P1(cosq)=cosq, (16.38)

§ 5. Измерение ядерного спина

Продемонстрируем теперь пример, где понадобятся только что описанные коэффициенты. Он связан с проделанными не так давно интересными опытами, которые вы теперь в состоянии будете понять. Некоторым физикам захотелось узнать спин одного из возбужденных состояний ядра Ne20. Для этого они принялись бомбить углеродную мишень пучком ускоренных ионов углерода и породили нужное им возбужденное состояние Ne20 (обозначаемое Ne20*) в реакции

где a1 — это a-частица, или Не4. Кое-какие из создаваемых таким образом возбужденных состояний Ne20 неустойчивы и распадаются таким путем:

Значит, на опыте видны возникающие в реакции две a-частицы. Обозначим их a1и a2; поскольку они вылетают с разными энер­гиями, их можно отличить друг от друга. Кроме того, выбирая a1, имеющие нужную энергию, мы можем отобрать любые воз­бужденные состояния Ne20.

Опыт ставился так, как показано на фиг. 16.9.

Фиг. 16.9. Размещение приборов в опыте по определению спина воз­бужденных состояний Ne20.

Пучок ионов углерода с энергией 16 Мэв был направлен на углеродную пленку. Первая a-частица регистрировалась кремниевым детектором, настроенным на прием a-частиц с нужной энергией, движущихся вперед (по отношению к падающему пучку ионов С12). Вторая a-частица регистрировалась счетчиком a2, поставленным под углом q к a1. Скорость счета сигналов совпа­дений от a1 и a2 измерялась как функция угла q.

Идея опыта в следующем. Прежде всего нужно знать, что спины С12, О16 и a-частицы все равны нулю. Назовем направ­ление движения начальных частиц С12 направлением +z; тогда известно, что Ne20* должен обладать нулевым моментом коли­чества движения относительно оси z. Ведь ни у одной из осталь­ных частиц нет спина; кроме того, С12 прилетает вдоль оси z и a1 улетает вдоль оси z, так что у них не может быть момента относительно этой оси. И каким бы ни был спин j ядра Ne20*, мы знаем, что это ядро находится в состоянии |j, 0>. Что же случится, когда Ne20* распадется на О16 и другую a-частицу? Что ж, a-частицу поймает счетчик a2, а О16, чтобы сохранить начальный импульс, вынужден будет уйти в противоположную сторону. Относительно новой оси (оси a2) не может быть тоже никакой компоненты момента количества движения. А раз конечное состояние имеет относительно новой оси нулевой мо­мент количества движения, то у распада Ne20* должна быть некоторая амплитуда того, что m'=0, где m'—квантовое число компоненты момента количества движения относительно новой оси. Вероятность наблюдать a2 под углом q будет на самом деле равна квадрату амплитуды (или матричного эле­мента)

Чтобы получить спин интересующего нас состояния Ne20*, вычертим интенсивность наблюдений второй a-частицы как функцию угла и сравним с теоретическими кривыми для раз­личных значений j. Как мы отмечали в конце предыдущего параграфа, амплитуды <j,0|Ry(q)|j,0>—это просто функции Рj(cosq). Значит, угловые распределения будут следовать кри­вым [Pj(cosq)]2. Экспериментальные результаты для двух возбужденных состояний показаны на фиг. 16.10.

Фиг. 16.10. Экспе­риментальные резуль­таты измерений уг­лового распределения a-частиц, вылетающих при распаде двух воз­бужденных состояний Ne20.

Они получены на устрой­стве, показанном на фиг. 16.9.

Вы видите, что угловое распределение для состояния 5,80 Мэв очень хорошо укладывается на кривую [Р1(cosq)]2, т. е. оно должно быть состоянием со спином 1. С другой стороны, данные для состоя­ния 5,63 Мэв выглядят совершенно иначе; они ложатся на кривую [Р3(cosq)]2. Спин этого состояния равен 3.

В этом опыте мы измерили момент количества движения двух возбужденных состояний Ne20*. Этой информацией можно воспользоваться, чтобы понять, как ведут себя протоны и нейтроны внутри этого ядра, и это принесет нам добавочные сведения о таинственных ядерных силах.

§ 6. Сложение моментов количества движения

Когда мы изучали сверхтонкую структуру атома водорода в гл. 10 (вып. 8), нам пришлось рассчитывать внутренние состоя­ния системы, составленной из двух частиц — электрона и протона — со спинами 1/2. Мы нашли, что четверка возможных спиновых состояний такой системы может быть разбита на две группы — на тройку состояний с одной энергией, которая во внешнем поле выглядела как частица со спином 1, и на одно ос­тавшееся состояние, которое вело себя как частица со спином 0. Иначе говоря, объединяя две частицы со спином 1/2, можно образовать систему, «полный спин» которой равен либо единице, либо нулю. В этом параграфе мы хотим рассмотреть на более общем уровне спиновые состояния системы, составленной из двух частиц с произвольными спинами. Это другая важная проблема, связанная с моментами количества движения квантовомеханической системы.

Перепишем сперва результаты гл. 10 для атома водорода в форме, которая позволит распространить их на более общий случай. Мы начали с двух частиц, которые теперь обозначим так: частица а (электрон) и частица b (протон). Спин частицы а был равен ja(=1/2), a z-компонента момента количества движе­ния mамогла принимать одно из нескольких значений (на са­мом деле два, а именно mа=+1/2 или mа=-1/2). Точно так же спиновое состояние частицы b описывалось ее спином jb и z-компонентой момента количества движения mb. Из всего этого можно было составить несколько комбинаций спиновых состояний двух частиц. Например, из частицы а с mа= 1/2 и частицы b с mb=-1/2 можно было образовать состояние | а, +1/2; b, -1/2>. Вообще, объединенные состояния образовы­вали систему, у которой «спин системы», или «полный спин», или «полный момент количества движения» J мог быть равен либо единице, либо нулю, а z-компонента момента количества движения М могла равняться +1, 0 или -1 при J=1 и нулю при J=0. На этом новом языке формулы (10.41) и (10.42) можно переписать так, как показано в табл. 16.3.

Левый столбец таблицы описывает составное состояние через его полный момент количества движения J и z-компоненту М.

Таблица 16.3 · СОСТАВЛЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДВУХ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1/2,

Правый столбец показывает, как составляются эти состояния из значений т двух частиц а и b.

Мы хотим обобщить этот результат на состояния, составлен­ные из двух объектов а и b с произвольными спинами jа и jb. Начнем с разбора примера, когда jа=1/2 и jb=1, а именно с атома дейтерия, в котором частица а — это электрон е, а части­ца b — ядро, т. е. дейтрон d. Тогда ja=je=1/2. Дейтрон обра­зован из одного протона и одного нейтрона в состоянии с пол­ным спином 1, так что jb=jd=1. Мы хотим рассмотреть сверхтонкие состояния дейтерия, как мы сделали это для водо­рода. Поскольку у дейтрона может быть три состояния, mb= md=+1, 0, -1, а у электрона — два, mа=mе=+1/2, -1/2, то всего имеется шесть возможных состояний, а именно (используется обозначение