9. Квантовая механика II - Ричард Фейнман

* Для большей строгости все эти рассуждения нужно было бы про­вести для малых поворотов e. Раз каждый угол j представляет собой сумму некоторого числа n таких поворотов, j=ne, то R^z (j)=[Rz (e)]n, и общее изменение фазы в n раз превосходит изменение для малого угла 8 и поэтому пропорционально j.

* Точнее, мы определим R^z(j) как поворот физической системы на -j вокруг оси z; это то же самое, что повернуть систему координат на +j.

** Мы всегда вправе выбрать ось z вдоль направления поля при усло­вии, конечно, что его направление не меняется и что больше полей нет.

* В других книгах вы можете встретить формулы с другими знаками; вероятнее всего, в них используются углы, определенные по-иному.

* Кстати, вы можете доказать, что Q^ — это обязательно унитарный оператор, т. е. если он действует на |y>, приводя к |y>, умноженному на некоторое число, то это число должно иметь вид еid, где d — веществен­но. Это мелкое замечание, а доказательство основано на следующем наб­людении. Всякая операция наподобие отражения или поворота не приво­дит к потере каких-либо частиц, так что нормировки |y'> и |y> должны совпадать; отличаться они вправе только на множитель с чисто вещест­венной фазой в показателе.

Литература: А. Р. Эдмондс, Угловые мо­менты в квантовой механике, в кн. «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958.

Глава 16

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

§ 1. Электрическое дипольное излучение

§ 2. Рассеяние света

§ 3. Аннигиляция позитрония

§ 4. Матрица пово­рота для про­извольного спина

§ 5. Измерения ядерного спина

§ 6. Сложение моментов количества движения

Добавление 1. Вывод матрицы поворота

Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона

§ 1. Электрическое дипольное излучение

В предыдущей главе мы развили представле­ния о сохранении момента количества движения в квантовой механике и показали, как ими можно воспользоваться для предсказания угло­вого распределения протонов при распаде L0-частицы. Теперь мы хотим добавить еще несколько иллюстраций тех следствий, кото­рые вытекают из сохранения момента количест­ва движения в атомных системах. Первым при­мером послужит излучение света атомом. Сохра­нение момента количества движения (наряду с другими обстоятельствами) определит поляри­зацию и угловое распределение испускаемых фотонов.

Пусть имеется атом в возбужденном со­стоянии с определенным моментом количества движения, скажем со спином, равным 1; он, излучая фотон, переходит к состоянию с мо­ментом нуль при более низкой энергии. Задача в том, чтобы представить угловое распределе­ние и поляризацию фотонов. (Она очень похожа на задачу о распаде L0-частицы, но только те­перь спин равен не 1/2, a 1.) Раз у возбужденного состояния спин равен единице, то для z-компоненты момента имеются три возможности. Зна­чение т может быть или +1, или 0, или -1. Возьмем для примера m=+1. (Если мы раз­беремся в этом примере, то справимся и с други­ми.) Предположим, что момент количества движения атома направлен по оси +z (фиг. 16.1, а), и спросим, какова амплитуда того, что он излучит вверх по оси гправополяризованный по кругу свет, так что в результате его момент станет равным нулю (фиг. 16.1, б).

Фиг. 16.1. Атом с т = +1 излучает вдоль оси +z правый фотон.

Ответа на этот вопрос мы не знаем. Но зато мы знаем, что правополяризованный по кругу свет уносит вдоль направления своего распространения одну единицу мо­мента количества движения. Значит, после излучения фотона положение станет таким, как показано на фиг. 16.1, б, т. е. атом остался с нулевым моментом относительно оси z, поскольку мы предположили, что низшее состояние атома имеет спин нуль. Обозначим амплитуду такого события буквой а. Точнее, а будет обозначать амплитуду излучения фотона в некоторый узкий телесный угол DW, окружающий ось z, за время dt. За­метьте, что амплитуда излучения левого фотона в том же на­правлении равна нулю. У такого фотона момент относительно оси z был бы равен -1, а так как у атома он равен нулю, то и в сумме получилось бы -1, так что момент не сохранился бы. Точно так же, если спин атома вначале направлен вниз (-1 вдоль оси z), то он может излучать в направлении оси +z только левые фотоны (фиг. 16.2).

Фиг. 16.2. Атом с m=-1 излучает вдоль оси z левый фотон.

Амплитуду такого события обозначим буквой b (снова имея в виду амплитуду излучения фотона в некоторый узкий телесный угол DW). С другой стороны, если атом находится в состоянии с m=0, он вообще не сможет испустить фотон в направлении +z, потому что у фотона момент количества движения относительно его направления распространения может быть только +1 или -1.

Далее, можно показать, что b и а связаны. Проделаем над ; системой, изображенной на фиг. 16.1, преобразование инверсии. Это значит, что мы должны представить себе, как будет выглядеть система, если мы каждую ее часть передвинем в соответст­вующую точку с другой стороны от начала координат. Но это не значит, что следует отражать и векторы момента количест­ва движения, ведь они — искусственные образования. Нужно другое — нужно обратить истинный характер движения, соот­ветствующего такому моменту количества движения.

На фиг. 16.3, а мы показали, как выглядит процесс, изобра­женный на фиг. 16.1, до и после инверсии относительно центра атома.

Фиг, 16.3. Если процесс (а) преобразовать путем инверсии относительно центра атома, он станет выглядеть, как (б).

Заметьте, что направление вращения атома не изменилось. В обращенной системе (фиг. 16.3, б) получается атом с m=+1, излучающий вниз левый фотон.

Если мы теперь повернем систему, изображенную на фиг. 16.3, б, на 180° вокруг оси х и у, она совпадет с фиг. 16.2. Сочетание инверсии и поворота превращает второй процесс в первый. Пользуясь табл. 15.2 (стр. 129), мы видим, что поворот на 180° вокруг оси у как раз перево­дит состояние с m=-1 в состояние с m=+1, так что амплитуда b должна быть равна амплитуде а, если не считать возмож­ной перемены знака при инверсии. А перемена зна­ка при инверсии зависит от четностей начального и конечного состояний атома.

В атомных процессах четность сохраняется, так что четность всей системы до и после излучения фотона должна быть одной и той же. Что на самом деле произойдет, зависит от того, положительны или отрицательны четности начального и конечного состоя­ний атома — в разных случаях угловое распределение из­лучения будет различным. Возьмем обычный случай отрица­тельной четности начального состояния атома и положительной четности конечного; он даст так называемое «электрическое дипольное излучение». (Если начальное и конечное состояния об­ладают одинаковой четностью, то говорят, что происходит «маг­нитное дипольное излучение», напоминающее по характеру излучение витка с переменным током.) Если четность начально­го состояния отрицательна, его амплитуда при инверсии, пере­водящей систему из а в б на фиг. 16.3, меняет знак. Конечное состояние атома имеет положительную четность, так что его амплитуда при инверсии знака не меняет. Если в реакции сохраняется четность, то амплитуда b должна быть равна а во величине, но противоположна по знаку.

Мы приходим к заключению, что если амплитуда того, что состояние m=+1 излучит фотон вперед, равна а, то для рас­сматриваемых четностей начального и конечного состояний амплитуда того, что состояние m=-1 излучит вперед ле­вый фотон, равна -а.

Теперь у нас есть все, чтобы найти амплитуду того, что фо­тон будет испущен под углом 0 к оси z. Пусть вначале атом поля­ризован так, что m=+1. Это состояние мы можем разложить на состояния с т = +1, 0, -1 относительно новой оси z', про­веденной в направлении испускания фотона. Амплитуды этих трех состояний — как раз те, которые были приведены в ниж­ней половине табл. 15.2 (стр. 129). Амплитуда того, что правый фотон испускается в направлении 0, равна тогда произведению а на амплитуду того, что в этом направлении будет m=+1, а именно