Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики - Эдуардо Арройо

* * *

В ячейках Бенара мы наблюдаем упорядоченное состояние жидкости, следовательно, они характеризуются гораздо меньшей энтропией, чем при глобальной конвекции всей жидкости. Однако благодаря тому, что такие ячейки рассеивают энергию лучше, чем другие структуры, жидкость стремится к этому состоянию. Рассмотрим пример того, как условия неравновесия вызывают появление определенной структуры — это явление, называемое самоорганизацией, наблюдается в большом количестве систем. Самоорганизация — базовое понятие для описания живых существ, которые, похоже, являются крайним случаем диссипативной структуры.

У ячеек Бенара есть и другие любопытные свойства. Например, направление движения жидкости в них хаотично меняется при каждом эксперименте, как в случае с бифуркацией функций, чувствительных к начальным условиям, которые были рассмотрены в главе 2. Поскольку ни газ, ни источник тепла не имеют предпочитаемого направления вращения, мы также наблюдаем случай симметричного вращения: начальная ситуация симметрична относительно направления вращений, но жидкость в ячейках Бенара принимает только какое-то одно направление вращения, но никогда — оба одновременно.

Если количество тепла продолжает расти, ячейки Бенара исчезают и на смену им приходит хаотичное, абсолютно непредсказуемое движение жидкости. Это совпадает с присутствием странных аттракторов для некоторых значений притока энергии. Можно посчитать, что появление кажущейся сложности движения, похоже, ограничено некоторыми значениями потока энергии.

Предыдущий анализ можно применить и к земной атмосфере, а именно к явлению, известному как глобальное потепление. Сегодня ученые начинают называть его просто изменением климата, и для этого есть свои причины.

Атмосферу можно рассматривать как диссипативную систему, поскольку она поглощает энергию Солнца и рассеивает ее с максимальным эффектом. Климат Земли был относительно стабильным в течение сотен лет, и только в последние десятилетия он начал характеризоваться значительными изменениями, вызванными, как считают ученые, деятельностью людей.

Поведение климата можно понять, если рассмотреть атмосферу как динамическую систему. Стабильность климата в течение нескольких веков указывает на то, что система располагалась рядом с аттрактором. Хотя солнечное излучение со временем слегка меняется, динамическая система после небольших отклонений стремится вернуться к точке равновесия, двигаясь по относительно постоянной модели. Однако когда нарушения очень сильны, система выходит из области влияния аттрактора, после чего ее поведение становится непредсказуемым. Можно только сказать, что она будет двигаться по фазовому пространству, пока не найдет новый аттрактор, но каким он будет, узнать невозможно. Это соответствует тем изменениям климата, которые мы наблюдаем: человеческая деятельность вызвала большие отклонения в составе атмосферы, и это влечет изменение привычных климатических моделей. Но невозможно знать, где это изменение остановится, поэтому многие ученые предпочитают говорить не о глобальном потеплении, а об изменении климата. Другими словами, глобальное потепление — это наблюдаемое нами проявление нарушений климатических моделей, но конечное их развитие необязательно будет соответствовать потеплению.

Собственно, этим и объясняется общая тревога в научном сообществе: мы нарушили атмосферу так сильно, что развитие этой системы стало непредсказуемым. Мы не знаем ни когда вернемся в состояние стабильности, ни к какому состоянию стабильности придем. А поскольку большая часть мировой экономики построена вокруг известных климатических моделей, внезапная их смена катастрофична. Например, огромный вред может быть нанесен сельскому хозяйству, поскольку ему нужны стабильные климатические модели, и изменение в цикле времен года может вызвать голод на планете.

Как было видно, ячейки Бенара ведут себя почти волшебным образом: порядок появляется из хаоса без какого-либо вмешательства со стороны человека. Существует множество систем с подобными свойствами — в физике, химии и даже экономике.

В этом разделе мы коротко остановимся на математических системах, обладающих свойством самоорганизации, а затем применим полученные знания к другим ситуациям, таким как лазеры или экосистемы.

Появление самоорганизующихся систем в таких структурах, как газы, заставляет задать важный вопрос: может ли достаточно сложное поведение опираться на небольшой перечень простых правил? Для изучения этого явления применялись клеточные автоматы.

Клеточный автомат — это решетка с одним, двумя или большим количеством измерений, в которой каждая клетка считается ячейкой. Ячейки могут быть окрашены в два и более цвета, но используются белый и черный. Изменение каждой ячейки происходит согласно простому алгоритму и зависит от состояния соседних ячеек.

Простой пример клеточного автомата — это игра «Жизнь», созданная английским математиком Джоном Хортоном Конвеем (1937). В ней берется двумерная бесконечная решетка. Каждая ячейка на этой поверхности может быть «живой» (черной) или «мертвой» (белой). Начинается игра с произвольной конфигурации клеток.

Начальное состояние игры «Жизнь». Конкретно для этого состояния характерно поведение, напоминающее периодически стреляющий пистолет.

Затем система начинает развиваться на основании одного и того же правила. Правила просты.

1. Если с живой клеткой граничат меньше двух живых клеток, она умирает.

2. Живая клетка, с которой граничат две или три живые клетки, выживает.

3. Живая клетка, граничащая с более чем тремя живыми клетками, умирает.

4. Мертвая клетка, граничащая с тремя живыми клетками, оживает.

Если взять приведенное начальное состояние, мы увидим следующее развитие.

Последовательные состояния игры «Жизнь», слева направо, сверху вниз.

Игру Конвея можно считать динамической системой. Существует определенное положение в фазовом пространстве — конфигурация системы, которая работает по установленным правилам. Следовательно, если рассматривать другие динамические системы, одни начальные условия приведут систему к неподвижным точкам, после которых развитие остановится; другие — к предельным циклам, когда одно и то же поведение будет периодически повторяться. Наконец, третьи начальные условия приведут систему к странным аттракторам, и она начнет демонстрировать непредсказуемое и хаотичное поведение.

Так, все эти конфигурации из двух, трех и четырех клеток ведут к аттрактору в виде неподвижной точки.

Эти конфигурации, наоборот, порождают повторяющиеся предельные циклы.

В целом поведение игры «Жизнь» хаотично: при изменении начального состояния хотя бы одной клетки мы получим абсолютно разные результаты.

Возникновение произвольных сложных конфигураций в игре Конвея доказывает, что самоорганизация — нередкое явление, не связанное с большой сложностью системы: она может опираться на самые простые законы и не требовать вмешательства человека. Подобный подход совпадает с видением мира как физической системы, управляемой конечным набором простых законов, которые, несмотря на свою простоту, делают возможным существование таких сложных существ, как люди.

* * *

ИГРА «ЖИЗНЬ» КАК КОМПЬЮТЕР

Игра «Жизнь» так разнообразна, что ею можно пользоваться как персональным компьютером. Если взять достаточно большую доску, можно рассматривать ячейки в качестве битов и логических схем — двух базовых элементов для создания процессора, с помощью которых можно написать любую компьютерную программу. Это означает, что при достаточно большом размере решётки игры «Жизнь» можно выполнить любой алгоритм, написанный для персонального компьютера. Например, уже существуют программы, которые вычисляют простые числа, пользуясь исключительно игрой «Жизнь». Конечно, это не очень практичное использование игры, но оно хорошо иллюстрирует то, как на основе ограниченного перечня простых правил можно создать действительно сложную конфигурацию.

* * *

Английский физик и разработчик Стивен Вольфрам (1959) посвятил значительную часть своей жизни изучению клеточных автоматов. Полученные им заключения показывают, что простые правила лежат в основе достаточной высокой сложности результата. Вольфрам сегодня работает над выведением физических законов с помощью клеточных автоматов: ему уже удалось получить модели, совместимые с релятивизмом и квантовой механикой.