Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики - Эдуардо Арройо

Фракталы имеют дробную размерность, то есть для них характерно не целочисленное количество измерений — одно, два или три, — а, например, 1,65. Это можно объяснить следующим образом: если вычислить периметр снежинки Коха, окажется, что он бесконечен, потому что линии фигуры бесконечно сложны. Итак, с одной стороны, определяющая его линия имеет больше одного измерения, значит, ее размерность должна лежать в промежутке между единицей и двумя. Существуют различные способы вычислить размерность фрактала, и в случае со снежинкой она примерно равна 1,26.

Поскольку странный аттрактор — это фрактальная геометрическая фигура, то хотя она и ограничена конечной областью фазового пространства, траектории необязательно должны повторяться или сходиться в одной точке. На самом деле предполагается непериодическое поведение: тело движется непрогнозируемо, даже будучи ограниченным определенной областью фазового пространства, и никогда не проходит два раза через одну и ту же точку, иначе его траектория была бы периодической. В целом траектория тела напоминает изображенную на рисунке.

* * *

ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ

Фракталы существуют и в реальном мире. Например, брокколи имеет структуру, которая повторяется в любом масштабе, как видно на фотографии. Другие примеры фракталов — это молния, древовидная структура которой остается неизменной в любом масштабе, или лист папоротника, изображение которого можно сгенерировать математически. Фрактальную природу также имеют морские побережья или раковины моллюсков. Действительно, живые структуры очень часто фрактальны, поскольку именно этой модели соответствуют модели роста органической ткани. В человеческом теле, например, фрактальные характеристики имеют структура венозной системы кровообращения или структура легких.

* * *

Странные аттракторы существуют везде. Наиболее удивительный их пример встречается в метеорологии, поскольку погода также следует непрогнозируемым моделям. Еще примеры — двойной маятник, представляющий собой один маятник, прикрепленный к оконечности другого, или проблема трех тел с взаимным притяжением, рассмотренная в главе 2.

Теперь мы можем вплотную подойти к проблеме газа вне состояния равновесия. Вспомним, что система в этом состоянии характеризуется постоянным притоком энергии. Также нам нужно вспомнить второй закон термодинамики, согласно которому для любой изолированной системы энтропия стремится увеличиваться. Поскольку наш газ обменивается энергией с внешним миром, мы не можем говорить об изолированной системе, но мы можем считать источник энергии и наш газ единой системой, для которой энтропия должна будет расти.

Энтропия, как было сказано раньше, — это мера рассеяния энергии. То, что энтропия стремится к увеличению, означает, что энергия стремится все больше рассеиваться, и это очень важно для понимания поведения любой системы, получающей энергию извне. Примером системы такого типа является и человек: необходимую энергию мы получаем из еды. Подобным же образом ведет себя и земная атмосфера, хотя она получает энергию из солнечного излучения. В целом существует намного больше систем такого типа, чем систем в состоянии равновесия, так что их изучение принципиально для понимания законов существования Вселенной.

Во втором законе термодинамики говорится, что когда газ получает значительное количество энергии из внешнего источника, его поведение должно вести к росту общей энтропии. Газ принимает структуру, которая рассеивает энергию как можно эффективнее, что, в свою очередь, вызывает появление упорядоченных моделей, поведение которых, на первый взгляд, противоречит второму принципу термодинамики в том смысле, что энтропия газа уменьшается. Но нужно помнить, что газ не изолированная система, следовательно, к нему неприменим второй закон, он справедлив только для системы, включающей в себя источник энергии и окружение. При таком подходе рост упорядоченности газа вызывает увеличение хаотичности вокруг него, так что второй закон термодинамики все еще оказывается справедливым.

Поскольку тело стремится рассеять энергию как можно эффективнее, структуры такого типа называются диссипативными системами. В следующих абзацах вы увидите, что результаты, касающиеся поведения динамических систем и типов равновесия, окажутся крайне важными для понимания диссипативных систем.

При изучении таких систем нужно различать ситуации, близкие и далекие от равновесия. Предположим, что у нас в контейнере газ комнатной температуры: поскольку его температура и число частиц остаются постоянными, мы можем сделать вывод, что он находится в состоянии стабильного равновесия, или, другими словами, в неподвижной точке динамической системы. Но если сейчас мы слегка поколеблем газ, например слегка ударим контейнер, то мы изменим распределение его молекул. Однако вспомним главный признак стабильного равновесия: после небольшого отклонения от равновесия система возвращается в свое исходное состояние. Итак, при небольших отклонениях можно ожидать, что состояние газа не отклонится от равновесного. И пока газ находится близко от состояния равновесия, мы можем предположить, что его поведение предсказуемо. Даже если мы слегка нагреем газ, то можем вычислить, что произойдет, если скорректируем наши уравнения газа, пользуясь теорией возмущений. Состоит она в том, чтобы, опираясь на решения для состояния равновесия, вносить в них поправки, компенсирующие небольшие отклонения от этого состояния.

Если мы обеспечим приток к газу большого количества энергии, все изменится. Наша динамическая система выйдет из сферы влияния аттрактора, и ее поведение перестанет быть предсказуемым. Однако изучение динамических систем позволяет нам сделать некоторые важные прогнозы. Например, мы знаем, что газ будет стремиться к новому аттрактору, если дать ему достаточно времени. Если нам известны различные аттракторы нашей динамической системы, мы можем рассчитать несколько траекторий ее поведения после выхода из состояния равновесия.

Одна траектория приведет газ к другой неподвижной точке: в этом случае следует ждать, что система остановится в ней, что будет сопровождаться новыми показателями давления, объема и температуры. Другой вариант — это стремление системы к предельному циклу: в этом случае следует ждать ее периодического поведения, при котором характеристики газа будут меняться предсказуемым образом.

Наконец, возможно и хаотическое движение, заданное странным аттрактором. Подобное мы наблюдаем ежедневно в прогнозах погоды: нам известны некоторые параметры климата, но точно предсказать его мы не можем.

Бельгийский физик Илья Пригожин, изучавший диссипативные системы, объяснил несколько примеров сложного поведения с помощью обычных инструментов термодинамики. Один из самых иллюстративных примеров поведения жидкости вне состояния равновесия — это ячейки Бенара.

* * *

ИЛЬЯ ПРИГОЖИН (1917–2003)

Илья Пригожин был бельгийским ученым, который получил Нобелевскую премию по химии за изучение диссипативных систем. Пригожин родился в России, но его семья бежала в Бельгию из-за преследований коммунистического режима. Учился он в Бельгии и в 1949 году получил бельгийское гражданство. Ученый провел свои последние годы, пытаясь разрешить задачу стрелы времени: почему время движется от прошлого к будущему, а не наоборот. В своих работах Пригожин пришел к выводу, что увеличение энтропии — такой же фундаментальный закон, как и законы квантовой механики, но его выводы до сих пор не нашли признания в научном сообществе.

* * *

Ячейки Бенара получаются при нагревании жидкости снизу и обязаны эффекту гравитации в сочетании с разницей в плотности, вызванной воздействием тепла. Если жидкость нагревать, ее температура повышается, что ведет к более быстрому движению молекул и, в свою очередь, к потере плотности. Поскольку более тяжелые тела стремятся вниз, теплая жидкость будет подниматься, а холодная жидкость с поверхности — опускаться. Это создает конвекционное движение, похожее на представленное на рисунке.

Когда тепла достаточно, конвекция во всей жидкости прекращается и наблюдается в меньшем масштабе, образуя конвекционную ячейку. В структуре жидкости можно выделить небольшие ячейки, в каждой из которых происходит уменьшенный вариант конвекции в крупном масштабе.

* * *

ПОЧЕМУ ДАЖЕ В ОТАПЛИВАЕМОМ ПОМЕЩЕНИИ НОГИ МЕРЗНУТ

Конвекционное движение газа объясняет многие обычные явления: например, бриз в любом морском городе — это результат разницы в температурах воздуха над морем и сушей. Теплый воздух в наших домах имеет меньшую плотность, чем холодный, поэтому он стремится подниматься. По этой причине батареи устанавливают как можно ниже, чтобы они грели воздух над полом. И несмотря на это, нижний слой воздуха всегда имеет самую низкую температуру в комнате, так что наши ноги всегда остаются холодными. Единственный способ решить проблему мерзнущих ног — установить систему подогрева полов.