Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Коши — несомненно, один из величайших математиков первой половины XIX в. и создатель теории функций комплексного переменного — как это ни парадоксально, в первые десятилетия XIX в. сам отказывался считать числами такие выражения, как a + b√−1. В своем знаменитом «Курсе анализа» (Cours d'analyse, 1821) он назвал подобные выражения «количествами, лишенными всякого смысла». Тем не менее, продолжал он, эти «бессмысленные количества» позволяют высказывать некие утверждения относительно (реально существующих) вещественных чисел a и b; так, например, равенство

a + b√−1 = c + d√−1

указывает, что a = c и b = d. По утверждению Коши, «каждое равенство, связывающее мнимые числа, есть не более как символическая запись двух равенств вещественных чисел». Даже в 1847 г. он выдвинул весьма сложную теорию, призванную обосновать операции над комплексными числами без использования при этом величины √−1, от которой, говорил Коши, «мы можем полностью отречься и которую должны оставить без сожаления, поскольку нам не известно, ни что означает этот символ, ни какой смысл надлежит ему приписывать».

В 1831 г. Огастес де Морган, автор знаменитых «законов де Моргана» математической логики, внесший немалый вклад в развитие алгебры, высказал свои возражения против отрицательных и комплексных чисел в книге «Об изучении и трудностях математики», в которой, по его словам, не содержалось ничего, что нельзя было бы найти в лучших учебниках, используемых в те времена студентами Оксфорда и Кембриджа:

Мнимое выражение √−a и отрицательное выражение −b сходны в том, что каждое из них, встречаясь как решение задачи, свидетельствует о некоторой противоречивости или абсурдности. Что же касается реального смысла, то оба выражения надлежит считать одинаково мнимыми, так как 0 − a столь же непостижимо, как и √−a.

В качестве примера де Морган приводит следующую задачу: отцу — 56 лет, а сыну — 29; через сколько лет отец будет вдвое старше сына? Де Морган составляет уравнение 56 + x = 2(29 + x) и, решая его, получает x = −2. Такой ответ он считает абсурдным, но замечает, что если x заменить на, −x, то данное уравнение перейдет в 56 − x = 2(29 − x), откуда следует, что x = 2. Отсюда де Морган делает вывод, что исходная задача была неверно поставлена: отрицательный ответ указывает на ошибку в первоначальной формулировке задачи, где на самом деле следует спрашивать: «Сколькими годами ранее отец был вдвое старше сына?»

По поводу комплексных чисел де Морган замечает:

Мы показали, что символ √−a лишен смысла или, точнее, внутренне противоречив и абсурден. Тем не менее такие символы позволили создать часть алгебры, приносящую немалую пользу. Объясняется это тем, что применение к таким выражениям [комплексным числам] общих правил алгебры, как должно быть проверено на опыте, никогда не приводит к ложным результатам. Обращение к опыту такого рода, по-видимому, противоречит первым принципам, положенным в основу алгебры. Мы не можем отрицать, что в действительности все обстоит именно так, Не следует, однако забивать, что та область алгебры, о которой идет речь, составляет лишь небольшую и изолированную часть обширного предмета, ко всем прочим частям которого указанные принципы применимы в полном объеме. [Принципы, которые упоминает де Морган, представляют собой математические истины, с необходимостью выводимые из аксиом с помощью дедуктивных рассуждений.]

Далее де Морган сравнивает отрицательные и комплексные корни:

Итак, между отрицательными и мнимыми решениями уравнения различие все же существует. Если задача допускает отрицательное решение, то, изменив знак неизвестного x в уравнении, которое привело к такому решению, мы можем либо обнаружить ошибку, допущенную при составлении уравнения, либо показать, что вопрос задачи чрезмерно сужен, и, расширив его надлежащим образом, мы получим удовлетворительное решение. Если же задача допускает мнимое решение, то дело обстоит совсем не так.

Несколько дальше де Морган замечает:

Нам отнюдь не хотелось бы воспрепятствовать проникновению в суть предмета тому, кто впервые изучает алгебру, поэтому мы не станем приводить здесь во всех подробностях доводы за и против по таким вопросам, как применение отрицательных чисел и т.д., недоступные пониманию учащегося и не вполне убедительные. Вместе с тем мы считаем своим долгом предуведомить тех, кто изучает алгебру, о существующей трудности и указать на природу ее. Мы надеемся, что учащийся, рассмотрев достаточное число примеров, разобранных отдельно, обретет уверенность в тех результатах, к которым приводят правила.

Не более чем де Морган был склонен принимать отрицательные и комплексные числа Уильям Роуан Гамильтон, один из самых выдающихся математиков XIX в., о котором мы упоминали ранее. Свои возражения против необычных чисел он сформулировал в работе от 1837 г.:

Не требуется особого скептицизма, чтобы усомниться или даже не поверить в учение об отрицательных и мнимых [числах], излагаемое, как это обычно принято, на основе таких принципов, как то, что большую величину можно вычесть из меньшей и что разность может быть меньше, чем ничто, что два отрицательных числа, т.е., числа, означающие величины, каждая из которых меньше нуля, можно умножить одно на другое и произведение при этом будет положительным, иначе говоря, числом, означающим величину, которая больше нуля, и что хотя квадрат числа, или произведение числа на самого себя, всегда положителен независимо от того, положительно или отрицательно само число, тем не менее можно найти, представить себе или определить числа, называемые мнимыми, и производить над ними действия по всем правилам, используемым для положительных и отрицательных чисел, как если бы мнимые числа удовлетворяли этим правилам, хотя эти числа имеют отрицательные квадраты и, следовательно, не должны считаться ни положительными, ни отрицательными числами и ни нулем, в силу чего обозначаемые ими величины не могут быть ни больше, чем ничто, ни меньше, чем ничто, ни равны ничему. Трудно, должно быть, возводить науку на таких основах, хотя правила логики позволяют построить из мнимых чисел симметричную систему выражений и можно выучиться практическому искусству правильно применять полезные правила, по-видимому связанные с этими несуществующими или мнимыми числами.{81}

Джордж Буль (1815-1864), один из создателей (наряду с де Морганом) математической логики, в своем труде «Исследование законов мышления» (1854) называет √−1 неинтерпретируемым символом. Однако, используя этот символ в тригонометрии, мы, по мнению Буля, переходим с помощью неинтерпретируемых выражений от одних интерпретируемых выражений к другим, тоже интерпретируемым.

С комплексными числами математиков несколько примирила не логика, а их геометрическое представление, предложенное Весселем, Арганом и Гауссом (см. гл. IV). Тем не менее в работах Гаусса отчетливо ощущается его нежелание принять комплексные числа. Гаусс предложил четыре доказательства основной теоремы алгебры, утверждающей, что многочлен n-й степени имеет ровно n корней. В первых трех доказательствах (1799, 1815 и 1816) Гаусс рассматривает многочлены с вещественными коэффициентами и, кроме того, предполагает, хотя нигде не определяет его явно, взаимно-однозначное соответствие между точками декартовой (координатной) плоскости и комплексными числами. По существу это еще не было геометрическим представлением комплексных чисел x + iy; Гаусс рассматривал x и y как координаты точки на вещественной плоскости. Кроме того, во всех трех доказательствах Гаусс не использовал теорию функций комплексного переменного, так как вещественную и мнимую части встречающихся функций рассматривал отдельно. В письме к Бесселю (1811) Гаусс высказался более определенно: числу a + bi соответствует точка (a, b) на комплексной плоскости; из одной точки комплексной плоскости в другую можно перейти по многим путям. Если судить по этим трем доказательствам и другим неопубликованным работам, то Гауссу не давала покоя мысль о статусе комплексных чисел и функций комплексного переменного. В письме от 11 декабря 1825 г. Гаусс признавался, что не может оторваться от «истиной метафизики отрицательных и мнимых величин. Истинный смысл √−1 неотступно сидит у меня в голове, но его трудно выразить словами».

Однако к 1831 г. Гаусс — если у него еще оставались какие-то сомнения относительно того, принимает ли он сам и другие математики комплексные числа, — преодолел эти сомнения и опубликовал работы по геометрическому представлению комплексных чисел. В работах, вышедших из-под пера Гаусса в тот год, все было сформулировано в явном виде. Гаусс не только предложил представлять число a + bi точкой на комплексной плоскости, но и дал геометрическое толкование сложения и умножения комплексных чисел (гл. IV). Он отметил, что к тому времени уже сложилось достаточно четкое понимание дробей, а также отрицательных и вещественных чисел. К комплексным же числам, несмотря на всю их значимость, отношение было в лучшем случае терпимым. Многие математики считали комплексные числа не более чем игрой с символами. Но «здесь [в геометрическом представлении] доказательство интуитивного понимания числа √−1 полностью обосновано и не нуждается более в необходимости относить указанные величины в область объектов, изучаемых арифметикой». Из этого высказывания видно, что сам Гаусс был согласен с интуитивным пониманием мнимых чисел. Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i. Однако Гаусс не обмолвился ни словом относительно того, что и он сам, и его современники свободно использовали вещественные числа, не имея никакого их обоснования, хотя этот момент был не менее важен.