9. Квантовая механика II - Ричард Фейнман

Тогда получится

что очень похоже на то, что мы имели для <x>ср.

При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с <x>ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:

Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <y|b> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |b> определяется в импульсном представлении уравнением

Иначе говоря, теперь можно писать

причем

где оператор р^ определяется на языке p-представления урав­нением (18.47).

[И опять при желании можно показать, что матричная запись р^ такова:

и что

Выводится это так же. как и для х.

Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать <р>ср так, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл опе­ратора р^ в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать р^ в координатном представлении? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция y (x)и мы со­бираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что за­дадим <p>cp уравнением (18.48), то это уравнение можно бу­дет разложить по p-представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p-представление состояния, а именно амплитуда <p|y> как алгебраическая функция импульса p, то из (18.47) можно получить <p|b> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в x-представлении, а именно волновая функ­ция y (x)=<x|y>?

Ну что ж, начнем раскладывать (18.48) в x-представлении.

Напишем

Но теперь надо знать другое: как выглядит состояние |b> в x-представлении. Если мы узнаем это, мы сможем взять ин­теграл. Итак, наша задача — найти функцию b (x)=<x|b>. Ее можно найти следующим образом. Мы видели в гл. 14, § 3, как <р|b> связано с <x|b>. Согласно уравнению (14.24),

Если нам известно <р|b>, то, решив это уравнение, мы найдем <x|b>. Но результат, конечно, следовало бы как-то выразить через y (x)=<x|y>, потому что считается, что именно эта ве­личина нам известна. Будем теперь исходить из (18.47) и, опять применив (14.24), напишем

Интеграл берется по х, поэтому р можно внести под интеграл

Теперь сравним это с (18.53). Может быть, вы подумали, что <x|b> равно py(x)? Нет, напрасно! Волновая функция <х|b>=b(x) может зависеть только от х, но не от р. В этом-то вся трудность.

К счастью, кто-то заметил, что интеграл в (18.55) мо­жно проинтегрировать по частям. Производная e-ipx/hпо х равна (-i/h)pe-ipx/h, поэтому интеграл (18.55) это все равно, что

Если это проинтегрировать по частям, оно превратится в

Пока речь идет только о связанных состояниях, y(x) стремится к нулю при х®±Ґ, скобка равна нулю и мы имеем

А вот теперь сравним этот результат с (18.53). Вы видите, что

Все необходимое, чтобы взять интеграл в (18.52), у нас уже есть. Окончательный ответ таков:

Мы узнали, как выглядит (18.48) в координатном представлении. Перед нами начинает постепенно вырисовываться интересная картина. Когда мы задали вопрос о средней энергии состояния |y>, то ответ был таков:

То же самое в координатном мире записывается так:

Здесь — алгебраический оператор, который действует на функцию от х.

Когда мы задали вопрос о среднем значении х, то тоже обнаружили, что ответ имеет вид

В координатном мире соответствующие уравнения таковы:

Когда мы задали вопрос о среднем значении р, то ответ оказался

В координатном мире эквивалентные уравнения имели бы вид

Во всех наших трех примерах мы исходили из состояния |y> и создавали новое (гипотетическое) состояние с помощью квантовомеханического оператора. В координатном представле­нии мы генерируем соответствующую волновую функцию, дей­ствуя на волновую функцию y (x) алгебраическим оператором. Можно говорить о взаимнооднозначном соответствии (для одно­мерных задач) между

В этом перечне мы ввели новый символ для алгебраического оператора (h/i)д/дx:

и поставили под значок х, чтобы напомнить, что имеем пока дело с одной только x-компонентой импульса.

Результат этот легко обобщается на три измерения. Для других компонент импульса

При желании можно даже говорить об операторе вектора импульса и писать

где ех, еy и еz — единичные векторы в трех направлениях. Можно записать это и еще изящнее:

Окончательный вывод наш таков: по крайней мере для некоторых квантовомеханических операторов существуют соот­ветствующие им алгебраические операторы в координатном пред­ставлении. Все, что мы до сих пор вывели (с учетом трехмер­ности мира), подытожено в табл. 18.1. Каждый оператор может быть представлен в двух равноценных видах:

либо

либо

Теперь мы дадим несколько иллюстраций применения этих идей. Для начала выявим связь между.

Если применить дважды, получим

Это означает, что можно написать равенство

Или, в векторных обозначениях,

(Члены в алгебраическом операторе, над которыми нет символа оператора ^, означают простое умножение.) Это уравнение очень приятно, потому что его легко запомнить, если вы еще не забыли курса классической физики. Хорошо известно, что энергия (не­релятивистская) состоит из кинетической энергии р2/2m плюс потенциальная, а у нас — тоже оператор полной энергии. Этот результат произвел на некоторых деятелей столь силь­ное впечатление, что они начали стремиться во что бы то ни стало вбить студенту в голову всю классическую физику, прежде чем приступить к квантовой. (Мы думаем иначе!) Параллели очень часто обманчивы. Если у вас есть операторы, то важен порядок различных множителей, а в классическом уравнении он безраз­личен.

Таблица 18.1 · АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ В КООРДИ­НАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

В гл. 15 мы определили оператор р^хчерез оператор смещения D^x[см. формулу (15.27)]:

где d — малое смещение. Мы должны показать, что это экви­валентно нашему новому определению. В соответствии с тем, что мы только что доказали, это уравнение должно означать то же самое, что и

Но в правой части стоит просто разложение y (x+d) в ряд Тэйлора, а y (x+d)— то, что получится, если сместить состояние влево на б (или сдвинуть на столько же вправо систему коорди­нат). Оба наши определения р^ согласуются!

Воспользуемся этим, чтобы доказать еще кое-что. Пусть у нас в какой-то сложной системе имеется множество частиц, которым мы присвоим номера 1, 2, 3, ... . (Для простоты остано­вимся на одномерном случае.) Волновая функция, описывающая состояние, является функцией всех координат х1: х2, x3,... . Запишем ее в виде y (x1, х2, х3, ...). Сдвинем теперь систему (вле­во) на d. Новая волновая функция

может быть записана так:

Согласно уравнению (18.65), оператор импульса состояния |y> (назовем его полным импульсом) равняется