9. Квантовая механика II - Ричард Фейнман

§ 2. Средние энергии

До сих пор мы в основном напоминали вам о том, что вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы подсчитали среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию Е. Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам Е, и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется Е.

Но что случится, если вы проделаете свои измерения над состоянием |y>, которое не является стационарным? Раз у си­стемы нет определенной энергии, то одно измерение даст одну энергию, то же измерение над другим атомом в том же состоя­нии даст другую и т. д. Каким же окажется среднее всей серии измерений энергии?

На этот вопрос мы ответим, если возьмем проекцию состоя­ния |y> на систему состояний с определенной энергией. Чтобы помнить, что это особый базис, будем обозначать эти состояния |hi>. Каждое из состояний |hi> обладает определенной энер­гией Ei, В этом представлении

Когда вы проделываете измерение энергии и получаете некото­рое число Еi, вы тем самым обнаруживаете, что система была в состоянии |hi>. Но в каждом новом измерении вы можете получить новое число. Иногда вы получите E1, иногда Е2, иногда Е3и т. д. Вероятность, что вы обнаружите энергию E1? равна попросту вероятности обнаружить систему в состоянии |h1>, т. е. квадрату модуля амплитуды С1=<h1|y>. Вероятность обнаружить то или иное возможное значение энергии Eiесть

Pi=|Ci|2. (18.11)

Как же связать эти вероятности со средним значением всей последовательности измерений энергий? Вообразим, что мы получили ряд результатов измерений, например E1, Е7, E11, Е9, E1, E10, Е7, E2, Е3, Е9, Е6, E4и т. д., всего тысяча измерений. Сложим все энергии и разделим на 1000. Это и есть среднее. Можно сложение проделать и покороче. Посчитайте, сколько раз у вас вышло E1(скажем, оно вышло N1раз), сколько раз вышло Е2(скажем, N2раз) и т. д. Ясно, что сумма всех энер­гий равна

Средняя энергия равна этой сумме, деленной на полное число измерений, т. е. на сумму всех Ni, которую мы обозначим N:

Мы почти у цели. Под вероятностью какого-нибудь собы­тия мы понимаем как раз число случаев, когда ожидается на­ступление этого события, деленное на общее число испытаний. Отношение Ni/N должно (при больших N) мало отличаться от Pi— вероятности обнаружить состояние |hi>, хоть и не будет точно совпадать с Рiиз-за статистических флуктуации. Обозначим предсказываемую (или «ожидаемую») среднюю энер­гию <E>ср; тогда мы вправе сказать

Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно вели­чин. Среднее значение измеряемой величины А должно равняться

где ai—различные допустимые значения наблюдаемой вели­чины, а Рi — вероятность получения этого значения.

Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состо­янию |y>. Его средняя энергия равна

А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так:

Теперь будем рассматривать левое <y| как общий множитель.

Вынесем его за знак суммы и напишем

Это выражение имеет вид <y|j>, где |j> — некоторое «придуманное» состояние, определяемое равенством

Иными словами, это то состояние, которое у вас получится, если вы возьмете каждое базисное состояние |hi> в количестве

Еi<hi|y>.

Но вспомним теперь, что такое |hi>. Состояния |hi> считаются стационарными, т. е. для каждого из них

А раз Еi—просто число, то правая часть совпадает с |hi>Еi, а сумма в (18.16) — с

Теперь приходится просуммировать по i общеизвестную комби­нацию, приводящую к единице:

Чудесно, уравнение (18.16) совпало с

Средняя энергия состояния |y> записывается, стало быть, в очень привлекательном виде

Чтобы получить среднюю энергию, подействуйте на |y> опе­ратором Н^ и затем умножьте на <y|. Очень простой результат. Наша новая формула для средней энергии не только прив­лекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего го­ворить об особой системе базисных состояний. И даже всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно вы­разить наше состояние через какую угодно совокупность базис­ных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу Нijдля этой совокупности, мы уже сможем узнать среднюю энер­гию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний |i> средняя энергия может быть вычисле­на из

где амплитуды <i|H|j> как раз и есть элементы матрицы Hij. Проверим это на том частном примере, когда состояния |i> суть состояния с определенной энергией. Для них H^|j>=e|j>, так что <i|H^|j>=Ejdijи

что вполне естественно.

Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть L^zесть оператор z-компоненты момента количества движения L. Средняя z-компонента для со­стояния |y> равна

Один из способов доказательства этой формулы — придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту ко­личества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся. Подытоживая, скажем, что если физически наблюдаемая величина А связана с соответствующим квантовомеханическим оператором А^, то среднее значение А в состоянии |y> дается формулой

Под этим подразумевается

где

§ 3. Средняя энергия атома

Пусть мы хотим узнать среднюю энергию атома в состоянии, описываемом волновой функцией y(r); как же ее найти? Рассмот­рим сперва одномерную задачу, когда состояние |y> опреде­ляется амплитудой <x|y>=y (x). Нас интересует частный слу­чай применения уравнения (18.19) к координатному представ­лению. Следуя нашей обычной процедуре, заменим состояния |i> и |j> на |х>и |х'>и сумму на интеграл. Мы получим

Этот интеграл можно при желании записывать иначе:

где

Интеграл по х' в (18.25) тот же самый, что встречался нам в гл. 14 [см. (14.50) и (14.52)]. Он равен

Поэтому можно написать

Вспомним, что <y|x>=<x|y>*=y*(x); с помощью этого равенства среднее значение энергии в (18.23) можно записать в виде

Если волновая функция y (x) известна, то, взяв этот интеграл, вы получите среднюю энергию. Вы теперь начинаете понимать, как от представлений о волновом векторе можно перейти к пред­ставлению о волновой функции и обратно.

Величина в фигурных скобках в (18.27) это алгебраический оператор. [«Оператор» V(x) означает «умножь на V(x)».]Мы обоз­начим его