9. Квантовая механика II - Ричард Фейнман

§ 4. Электрон в трехмерной решетке

Еще немного о том, как можно применить те же идеи, чтобы понять, что происходит с электроном в трех измерениях. Резуль­таты оказываются очень похожими. Пусть имеется прямоуголь­ная решетка атомов с расстояниями а, b, с в трех направлениях. (Если вам больше по душе кубическая решетка, примите все расстояния равными друг другу.) Предположим также, что ам­плитуда прыжка к соседу в направлении х есть iAx/h; ампли­туда прыжка в направлении у есть iAy/h, а амплитуда прыжка в направлении z есть iAz/h. Как же описать базисные состоя­ния? Как и в одномерном случае, одно базисное состояние — это когда электрон находится близ атома с координатами х, у, z, где (х, у, z) — одна из точек решетки. Если выбрать начало координат в одном из атомов, то все эти точки придутся на

х=nха, y=nyb и z=nzс,

где nх, ny, nz —три целых числа. Вместо того чтобы ставить при х, у и z их номера, будем просто писать х, у, z, имея в виду, что они принимают лишь такие значения, которые бывают у то­чек решетки. Итак, базисное состояние изображается символом | электрон в х, у, z>, а амплитуда того, что электрон в неко­тором состоянии |y> окажется в этом базисном состоянии, есть

С (х, у, z)=< электрон в х, у, z |y>.

Как и прежде, амплитуды С (х, у, z) могут меняться во вре­мени. При наших предположениях гамильтоновы уравнения обязаны выглядеть следующим образом:

Хоть это и выглядит громоздко, но вы сразу, конечно, поймете, откуда взялось каждое слагаемое.

Опять попробуем найти стационарное состояние, в котором все С меняются со временем одинаково. И снова решение есть экспонента

Если вы подставите это в (11.22), то увидите, что оно вполне подойдет, если только энергия Е будет связана с kx, kyи kzследующим образом:

Теперь энергия зависит от трех волновых чисел kx, ky, kz, которые, кстати, есть компоненты трехмерного вектора k.

И действительно, (11.23) можно переписать в векторных обо­значениях:

Амплитуда меняется как комплексная плоская волна, которая движется в трехмерном пространстве в направлении k с волно­вым числом k=(k2x+k2y+ k2z)1/2.

Энергия, связываемая с этими стационарными состояниями, зависит от трех компонент k сложным образом, подчиняясь уравнению (11.24). Характер изменения Е зависит от относи­тельных знаков и величин Ах,Ауи Аz. Если вся эта тройка положительна и если нас интересуют лишь маленькие k, то зависимость оказывается сравнительно простой.

Разлагая косинус, как и раньше [см. (11.16)], мы теперь придем к

В простой кубической решетке с расстоянием а между узлами следует ожидать, что и Ах, и Аy, и Агбудут все равны друг другу (скажем, равны А), так что получилось бы

или

А это как раз совпадает с (11.16). Повторяя те же рассуждения, что и тогда, мы пришли бы к заключению, что электронный пакет в трех измерениях (составленный путем суперпозиции множества состояний с почти одинаковыми энергиями) также движется на манер классической частицы, обладающей некото­рой эффективной массой.

В кристалле не с кубической, а с более низкой симметрией (или даже в кубическом кристалле, но таком, в котором состоя­ние электрона около атома несимметрично) три коэффициента Ах, Аyи Azразличны. Тогда «эффективная масса» элект­рона, сосредоточенного в узкой области, зависит от направле­ния его движения. Может, например, оказаться, что у него раз­ная инерция при движении в направлении х и при движении в направлении у. (Детали такого положения вещей иногда описываются с помощью «тензора эффективной массы».)

§ 5. Другие состояния в решетке

Согласно (11.24), состояния электрона, о которых мы гово­рили, могут обладать энергиями только в некоторой энергети­ческой «полосе», простирающейся от наименьшей энергии

Е0-2(Ая+Ау+Аг)

до наибольшей

E0+2(Ax+Ay+Az).

Другие энергии тоже возможны, но они принадлежат к другому классу состояний электрона. Для тех состояний, о которых говорилось раньше, мы выбирали такие базисные состояния, когда электрон в атоме кристалла находился в некотором определенном состоянии, скажем в состоянии наинизшей энергии.

Если у вас есть атом в пустом пространстве и вы добавляете к нему электрон, чтобы получился ион, то этот ион можно обра­зовать многими способами. Электрон может расположиться так, чтобы образовать состояние наинизшей энергии, или так, чтобы образовать то или иное из многих возможных «возбуж­денных состояний» иона, каждое с определенной энергией, ко­торая превосходит наинизшее значение. То же может случиться и в кристалле. Допустим, что энергия Е0, которой мы пользо­вались выше, соответствует базисным состояниям, представляю­щим собой ионы с наинизшей возможной энергией. Но можно также вообразить новую совокупность базисных состояний, в которых электрон по-иному располагается возле n-го атома: он образует одно из возбужденных состояний иона, так что энергия Е0теперь уже становится чуть повыше. Как и раньше, имеется некоторая амплитуда А (отличная от прежней) того, что электрон перепрыгнет из своего возбужденного состояния близ одного атома в такое же возбужденное состояние подле сосед­него атома. И весь анализ проходит, как раньше; мы обнаружим полосу возможных энергий, сосредоточенных вокруг некото­рой высшей энергии. Вообще говоря, таких полос может быть много и каждая будет отвечать своему уровню возбуждения.

Мыслимы и другие возможности. Может существовать неко­торая амплитуда того, что электрон перепрыгнет из возбужден­ного положения возле одного атома в невозбужденное положе­ние близ следующего атома. (Это называется взаимодействием между полосами.) Математическая теория становится все слож­нее и сложнее по мере того, как вы принимаете во внимание все больше и больше полос и добавляете все больше и больше коэф­фициентов просачивания между различными состояниями. Ни­каких новых идей не нужно; но уравнения, как мы видели из нашего простого примера, сильно разрастаются.

Следует еще заметить, что о различных коэффициентах, та­ких, как появляющаяся в теории амплитуда А, сказать можно лишь немногое. Их, как правило, очень трудно подсчитать, и в практических случаях об этих параметрах теоретически бывает очень мало известно; в тех или иных реальных случаях приходится их значения брать из опыта.

Бывают и другие случаи, в которых вся физика и вся мате­матика почти в точности совпадают с тем, что мы обнаружили для электрона, движущегося по кристаллу, но в которых дви­жущийся «объект» совсем не тот. Представим, например, что нашим исходным кристаллом (или, лучше сказать, линейной решеткой) была цепочка нейтральных атомов, у каждого из которых связь с внешним электроном очень слаба. Теперь во­образим, что мы убрали один электрон. У какого из атомов? Пусть Сnесть амплитуда того, что электрон исчез у атома, стоящего в точке хn. Вообще говоря, имеется какая-то ампли­туда А того, что электрон от соседнего атома, скажем от (n-1)-го, перепрыгнет к n-му, оставив свой (n-1)-й атом без электрона. Это все равно, что сказать, что у «нехватки электро­на» имеется амплитуда А того, что она переберется от n-го атома к (n-1)-му. Легко видеть, что уравнения окажутся такими же, как и раньше, но, конечно, сами А не обязательно останутся прежними. Мы опять придем к тем же формулам для уровней энергии, для «волн» вероятности, которые бегут по кристаллу с групповой скоростью (11.18), для эффективной массы и т. д. Только теперь эти волны описывают поведение недостающего электрона или, как его называют, «дырки». Можно убедиться, что заряд этой частицы будет казаться положительным. В сле­дующей главе мы немного подробнее расскажем об этих дырках. Другой пример. Представим себе цепочку нейтральных атомов, один из которых был приведен в возбужденное состояние, т. е. с более высокой, чем у нормального основного состояния, энергией. Пусть Сn — амплитуда того, что n-й атом возбужден. Он может взаимодействовать с соседним атомом, передавая ему свой избыток энергии и возвращаясь в основное состояние. Обозначим амплитуду этого процесса iA/h. Вы видите, что опять повторяется та же математика. Но теперь то, что движется, называется экситоном. Оно ведет себя как нейтральная «части­ца», которая движется через кристалл и несет с собой энергию возбуждения. Существование такого движения можно предпо­лагать в некоторых биологических процессах, таких, как зре­ние или фотосинтез. Была высказана догадка, что поглощение света в сетчатке создает «экситон», который движется через некоторую периодическую структуру [такую, как слои палочек, описанные в гл. 36 (вып. 3); см. там фиг. 36.5] и аккумулирует­ся на некоторых специальных станциях, где эта энергия ис­пользуется для возбуждения химической реакции.