Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики - Хоакин Наварро

1729 = 123 + 13 = 93 + 103.

На доказательство этого утверждения, которое у Рамануджана родилось мгновенно, Харди потратил несколько недель. Позднее число 1729 дало начало целому подразделу теории чисел, который изучает так называемые числа Рамануджана — Харди.

Этот рассказ очень известен и подтвержден документально. Он позволяет понять, как работает ум гениального математика, каким Рамануджан, без сомнений, был. Однако не будем забывать о том, чем эта история закончилась, и здесь не обойтись без упоминаний еще об одном гении из мира математики и физики — о нобелевском лауреате Ричарде Фейнмане (1918–1988).

Как рассказывает сам Фейнман в книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!», число 1729 помогло ему победить японского продавца счетов, который заявил, что может выполнять действия с числами быстрее всех. Убедившись, что чем сложнее становились вычисления, тем чаще Фейнман выигрывал, японец предложил ему задачу на извлечение кубических корней. Он попросил Фейнмана выбрать число, из которого нужно было извлечь кубический корень — и допустил промашку, потому что Фейнман сразу же выбрал 1729. Это число не вызвало у продавца подозрений, а

что можно с легкостью записать на бумаге и разложить в ряд Тейлора:

Этих членов уже достаточно для того, чтобы получить

Фейнман тут же одержал над продавцом победу. Рамануджан, должно быть, с улыбкой смотрел на это с небес, из нирваны или любого другого места, где он сейчас находится.

Индийская марка, выпущенная в честь Сринивасы Рамануджана — величайшего математика в истории Индии.

О выдающемся математике и писателе Годфри Харолде Харди рассказывают множество анекдотов, мы же приведем один из самых известных. Понять всю незаурядность Харди помогает список целей, составленный ученым. Наряду с довольно прозаичными пунктами в нем значилось следующее.

1. Доказать гипотезу Римана.

2. Набрать победное очко в важном крикетном матче.

3. Убить Муссолини.

4. Доказать, что Бога не существует.

О первом желании, с которым связан известный исторический анекдот, мы и расскажем. Однако вначале представим основных действующих лиц:

— Годфри Харолд Харди, прекрасный математик, известный прежде всего тем, что открыл для западного мира удивительного индийца Сринивасу Рамануджана;

— Бог, который не требует представления и которого Харди считал своим личным врагом;

— гипотеза Римана — несомненно, важнейшая гипотеза современной математики, которая по-прежнему остается недоказанной.

Изложим события согласно версии Дьёрдя Пойа (1887–1985), в которой можно оценить способности Харди и проследить за его математическими рассуждениями. Харди возвращался из Дании, где встретился с математиком Харальдом Бором, братом знаменитого физика Нильса Бора. Перед отплытием корабля в Англию погода испортилась, и вероятность того, что корабль попадет в шторм и потерпит крушение, была довольно высока. И тогда Харди отправил Бору открытку со словами: «Я доказал гипотезу Римана». Харди рассуждал следующим образом: если бы корабль утонул, то весь мир благодаря Бору узнал бы, что Харди доказал гипотезу Римана. Но Бог не мог допустить, чтобы его заклятый враг Харди обрел незаслуженную славу, поэтому он не дал бы кораблю утонуть. Таким образом, корабль не мог потерпеть крушение, что и требовалось доказать. Само собой, Харди по воле Бога добрался до Англии без происшествий.

Удивительно, но если путем Харди пойдет обычный человек, то он легко может допустить логическую ошибку. Так, часто рассказывают о некоем статистике, который вычислил вероятность того, что кто-то пронесет на борт самолета бомбу, и после этого стал каждый раз брать с собой в полет бомбу в чемодане. По его словам, вероятность присутствия на борту сразу двух взрывных устройств значительно меньше, чем вероятность присутствия одного. Разумеется, это вовсе не корректный статистический вывод, а обыкновенная наивность.

Очень похожую историю рассказывают о Давиде Гильберте (1862–1943), однако в ней речь идет о теореме (в то время — гипотезе) Ферма. Как-то раз Гильберт сообщил своим коллегам из далекого города, в котором он должен был вступить

Во время интервью, которое выдающийся мыслитель Бертран Рассел дал индийскому писателю Разипураму Лаксману (род. 1924), словоохотливый Рассел заметил, что Индия не дала миру ничего: «You indians, have invented absolutely nothing» («Вклад индийцев в науку и культуру равен нулю») — сказал Рассел. Лаксман был ошеломлен: фраза показалась ему не просто невежливой — услышать ее из уст такого джентльмена было попросту немыслимо, к тому же она не соответствовала истине. Однако Лаксман не успел возразить: хитрый Рассел пояснил, что слово nothing, «ничто», следует понимать буквально. Nothing означает «ноль» — именно это имел в виду Рассел. Индийцы изобрели ноль — это и есть их важнейший вклад в науку.

Карикатура из газеты Evening Standard, опубликованная в 1961 году, когда Рассел в очередной раз был заключен в тюрьму за свои политические взгляды, противоречившие тогдашним законам.

Действительно ли все было именно так, доподлинно неизвестно. По всей видимости, стоит предполагать, что ноль изобрели именно индийские математики в VI веке. Они не только открыли способ описать «ничто», но добились значительно большего. Понятие нуля является одним из основных в позиционной системе счисления. Бертран Рассел был нобелевским лауреатом, одним из величайших математиков всех времен, но даже ему не удалось открыть хоть что-то, сопоставимое с нулем — изобретением столь же гениальным, как и колесо.

Гениальный венгерский математик Пал Эрдёш (1913–1996) был широко известен — отчасти благодаря экстравагантному характеру, о котором было сложено немало анекдотов, а отчасти — благодаря реальному вкладу в теорию чисел. Эрдёш и вправду был гением: он говорил, что открыл отрицательные числа, когда ему было всего 4 года.

Не рассказывать анекдотов об Эрдёше невозможно. Он, как и Харди, считал Бога своим личным врагом, который скрывает от людей прекраснейшие из теорем, а он, Эрдёш, должен вытягивать их из него силой. Математик утверждал, что самые примечательные образцы этой тайной мудрости изложены в воображаемой книге — сборнике шедевров мысли, и когда ему удавалось доказать какое-то очень красивое утверждение, он восклицал: «Это наверняка должно быть в книге!»

Эрдёш стал живой легендой, а некоторые математические понятия, связанные с ним, прочно вошли в науку, как, например, предложенное в шутку число Эрдёша, которое теперь изучается в теории графов. Число Эрдёша для любого ученого X определяется как наименьшее число Е(Х) такое, что для этого ученого найдется хотя бы один соавтор одной из его статей с числом Эрдёша Е(Х) — 1. Это рекурсивное определение заканчивается, когда мы определяем число Эрдёша, равное О, единственным обладателем которого является сам Эрдёш. Ученый имеет число Эрдёша, равное 1, если он написал статью в соавторстве с самим Эрдёшем. Очевидно, что число Эрдёша, равное 2, имеют те, кто написал статью в соавторстве не с Эрдёшем, а с одним из тех, кто имеет число Эрдёша, равное 1. Те, кто написал статью в соавторстве с ученым X, имеющим число Эрдёша Е(Х) = 2, имеют число Эрдёша, равное 3, и так далее. Тот, кто не связан с этой цепочкой соавторов, имеет бесконечно большое число Эрдёша. Число Эрдёша — это в высшей степени математический способ классификации математиков.

Множество математиков с числом Эрдёша, равным 1, содержит 311 человек. В их число входит знаменитый бейсболист Хэнк Аарон — по совету математика Карла Померанса (род. 1944) Эрдёш оставил ему автограф на бейсбольном мяче во время церемонии вручения степени почетного доктора. Кто-то подсчитал, что 90 % ученых современности имеют число Эрдёша, меньшее или равное 8. Наибольшее известное на сегодняшний день число Эрдёша равно 15. Следует отметить, что старейшим математиком, принадлежащим к этой блестящей компании, является Рихард Дедекинд (1831–1916) с числом Е (Дедекинда) = 7.

«Мой разум открыт» — говорил Пал Эрдёш друзьям, когда стучался в их двери, чтобы погостить у них. С собой ученый брал только чемодан и смену белья, поскольку все остальное — его ум и готовность решать самые запутанные задачи — были при нем всегда. После этой фразы часто звучало и другое его изречение: «Another roof, another proof» («Еще одна крыша, еще одно доказательство»).