Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики - Хоакин Наварро

53 + 13 + 33 = 153

Удивительно, что ряд будет заканчиваться числом 153 для любого числа, кратного трем. Что это — чудо или занимательная математика?

Именно так считали в эпоху Возрождения. В 1456 году было изобретено книгопечатание, и путь к знаниям был открыт — для многих, но далеко не для всех, особенно если смотреть в прошлое из нашего благополучного XXI века. Вопреки ожиданиям, первой печатной книгой по математике были не «Начала» Евклида, подлинный памятник античной мудрости, а учебник по элементарной арифметике, отпечатанный в Тревизо под названием L’arte de l’abbacho («Искусство абака»). Автор книги ограничился объяснениями четырех арифметических действий и задачами о справедливом разделе вещей. Книга увидела свет в 1478 году. В ней использовались индоарабские цифры.

Купцы, которые интересовались подобными книгами, одержали верх над мудрецами и мыслителями. Впрочем, науке удалось отыграться: книга «Искусство абака» больше не переиздавалась, в то время как известно о сотнях изданий «Начал» Евклида.

Страница из учебника арифметики, отпечатанного в Тревизо, — первой в истории книги по математике.

Эта история, в которой сочетаются правда и вымысел, объясняет, почему в аналитической геометрии и в любых книгах по математике неизвестные чаще всего обозначаются буквой х. Начало этой традиции положил Рене Декарт (1596–1650) в своей книге «Геометрия», где обозначал известные числовые величины первыми буквами алфавита (a, b, с, d, …), а неизвестные — последними буквами (х, у, z). Так буква х, которая стоит на первом месте в этой троице, стала синонимом неизвестной величины.

Некоторые полагают, что инициатором такого решения был издатель книги: он заметил, что если литер с другими буквами не хватало, то литер с буквой х всегда было в избытке. Ее печатник и использовал при появлении неизвестной величины.

Как было на самом деле — мы уже не узнаем, но точно можно утверждать, что обозначение, введенное Декартом, сегодня использует весь мир.

Знакомство с двоичной системой счисления для разностороннего мыслителя Готфрида Вильгельма Лейбница (1646–1716) было сродни озарению. Царство единиц и нулей напоминало философский камень, способный превращать железо в золото: оно открывало новые, доселе невиданные горизонты. Единица (подобная Богу) и ноль (ничто) могли объяснить целую Вселенную, а простые 0 и 1 могли порождать любые числа. Это чудо следовало как-то объяснить и применить на практике.

В 1689 году Лейбниц обратился к своему другу, иезуиту Карлу-Филиппу Гримальди, главному придворному математику Китая (в последующие годы они вели весьма интересную переписку). Ученый просил Гримальди использовать все свое влияние и дар убеждения, чтобы, опираясь на новые знания о единице и нуле, убедить императора Кам-хи оставить буддизм и с распростертыми объятиями встретить христианство. Однако император Китая счел, что двоичная система никак не связана с единым Богом и вполне соответствует концепции инь и ян. Он не стал принимать христианство, а двоичная система счисления вернулась в царство арифметики, которое не должна была покидать.

Лейбниц упрямо приписывал полубожественные свойства всем новым математическим понятиям, о которых ему становилось известно. Например, таинственные мнимые числа он считал возвышенными и прекрасными, «амфибиями бытия с небытием».

О детстве Карла Фридриха Гаусса (1777–1855), который был вундеркиндом, обычно рассказывают такую историю. Когда ему было 10 лет, учитель, желая немного передохнуть, дал Гауссу и его одноклассникам задачу, которая заняла бы детей надолго: нужно было найти сумму всех чисел от 1 до 100:

1 + 2 + 3 +… + 98 + 99 + 100.

Спустя несколько минут маленький Гаусс поднялся с места и протянул учителю грифельную доску с ответом: 5050. Как несносный ребенок смог так быстро справиться с задачей? Гаусс заметил, что если записать числа исходного ряда друг под другом справа налево и слева направо,

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1,

то сумма чисел в каждой паре будет равна:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 =… = 98 + 3 = 99 + 2 = 100 + 1 = 101.

Сколько всего таких пар? 100. Так как искомая сумма была в два раза меньше, ответ к задаче таков:

(100·101)/2 = 50·101 = 5050.

Обычно здесь и заканчивается легенда об одаренном ребенке с фантастическими способностями — наверное, для того, чтобы понять ее могли все, даже те, кто далеко отстал от Гаусса по своим способностям.

На самом же деле задача была еще сложнее: учитель предложил ученикам найти сумму первых 100 чисел ряда:

81297 + 81495 + 81693 + … —

каждое слагаемое отличалось от предыдущего на 198. Получить этот результат уже не так просто — выходит, Гаусс был еще умнее, чем гласит легенда.

В 1847 году французский математик Габриель Ламе (1795–1870) в присутствии множества коллег восторженно объявил, что доказал теорему, известную нам как великая теорема Ферма. При этом Ламе не преминул выразить благодарность вдохновившему его Жозефу Лиувиллю (1809–1882), который присутствовал здесь же.

По словам Ламе, без неоценимой помощи Лиувилля он не смог бы… и прочая, и прочая. В ответ совершенно пораженный Лиувилль обратил внимание собравшихся на одну небольшую деталь: доказательство Ламе было верно тогда и только тогда, когда выполнялось одно условие: целые числа определенного класса (далее мы определим их подробнее), как и обычные целые числа, можно разложить на множители единственным способом. Следует отметить, что в этом сомневались немногие. Ламе попытался найти доказательство для этого недостающего звена, но, к его разочарованию, сделать этого не удалось. Как сказал музыкальный критик об одном из произведений Дебюсси: «Его музыка не слишком шумна, но этот шум крайне неприятен». Ламе терял терпение, не в силах справиться с каким-то пустяком.

Тремя годами ранее немецкий математик Эрнст Куммер (1810–1893) опубликовал в малоизвестном журнале контрпример, в котором показал, что целые числа определенного класса можно разложить на множители не единственным способом. Узнав о попытках Ламе, Куммер поспешил отправить коллеге свой контрпример, и Ламе, лишившись надежды, оставил всякие попытки доказать теорему Ферма.

Сегодня известно, что знаменитые целые числа Ламе образуют так называемое квадратичное поле. Во времена ученого этим числам уделялось не слишком много внимания. Для обычных целых чисел, в частности на множестве , разложение на множители является единственным (если не делать разницы между 1 и —1). Например,

6 = 2·3 = 2·(—3)·(—1) = (—2)·3·(—1) = (—2)·(—3).

Множителями в этом разложении являются 2 и 3. На множестве [√-5] (его элементы — числа вида a + ib√5, где а и b — целые), за исключением 1 и —1, разложить это число на множители можно уже не единственным способом:

6 = 2·3 = (1 + i√5)·(1 — i√5).

К примеру, целое число 6 (если принять, что 1 = —1) можно разложить на множители двумя разными способами.

Как говорится в пословице, нет худа без добра. Куммер начал охоту за доказательством теоремы Ферма, описав идеальные числа, и знаменитая недоказуемая теорема

Не существует тройки целых чисел х, у, z, которые удовлетворяли бы равенству хn  + уn = zn для n > 2

была доказана для 100 первых показателей степени (n  < 100). Оставалось доказать ее для бесконечного множества чисел.

Эрнст Куммер.

Эрнст Куммер не только увлекался нумерологией, но также был ярым патриотом и славился неспособностью запомнить основы элементарной арифметики — обычные таблицы умножения. Когда ему нужно было использовать таблицу умножения в классе, он обращался к ученикам: «Семь на девять будет… эээ …» — тут какой-нибудь ученик, желая напакостить, обычно подсказывал неверный ответ: «Семь на девять будет шестьдесят один». «Нет, нет, шестьдесят девять», — подсказывал другой ученик, присоединяясь к общему веселью. И тогда бедному Куммеру не оставалось ничего другого, как невинно сказать: «Ну же, господа, давайте остановимся на чем-нибудь одном». Но правильный ответ был необходим, и Куммер начинал рассуждать логически. Сколько же будет 7·9? Числа 60, 62, 64, 66 и 68 не подходят, так как они четные, 61 и 67 не подходят, потому что они простые, 65 не подходит потому, что оканчивается на 5 и, следовательно, делится на 5. 69 тоже не подходит, так как очевидно, что оно слишком велико. Остается 63 — таким и должен быть ответ. Следовательно, 7·9 = 63.