Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов - Роман Сиренко

Подставляем значение N1 в уравнение равновесия и получаем:

По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям определим F1 и F3 из условий:

8. Напряжения, возникающие при изменении температуры

В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t1. Длина стержня ℓ, площадь поперечного сечения F, модуль упругости Е. Определить напряжения при изменении температуры до t2. Выясним, какие силы будут действовать на стержень, если температура повысится от t1 до t2. Стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны этих опор будут действовать реакции, они и вызовут сжатие стержня. Их величины нельзя найти из уравнений статики, так как единственное условие равновесия дает нам, что реакции опор в точках А и В равны по величине и прямо противоположны. Задача статически неопределимая.

RA = RB

Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓt. По законам физики

∆ℓt = αℓ(t2 – t1),

где α – коэффициент линейного расширения материала. Но так как длина стержня, закрепленного концами, остается и при нагревании неизменной, вернем опору В в первоначальное положение. Стержень укоротится на величину

∆ℓRB = ∆ℓt

Это и есть условие совместности деформаций; оно указывает на то, что при изменении температуры длина стержня не изменилась, он не оторвался от неподвижных опор. По закону Гука

Приравнивая обе деформации, получаем:

откуда RB = α×(t2-t1)×EF;

Напряжение, вызванное изменением температуры в стержне постоянного сечения с жестко защемленными концами, зависит лишь от материала, коэффициента линейного расширения, разности температур и не зависит от его длины и площади поперечного сечения.

9. Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении и сжатии (линейное напряженное состояние)

Вычислим напряжения, действующие по какому-либо наклонному сечению. Возьмем призматический стержень, растянутый силами Р (Рис. 3.1).

Рис. 3.1

Разделим его на две части сечением mn, составляющим угол α с поперечным сечением mk, перпендикулярным к оси. За положительное направление угла возьмем направление против часовой стрелки. Площадь сечения mk обозначим F0, площадь сечения mn обозначим Fα. Для определения напряжений применим метод сечений. Мысленно отбросим верхнюю часть и заменим ее действие на нижнюю напряжениями Sα. Для равновесия нижней части напряжения Sα должны уравновешивать силу Р и быть направлены параллельно оси стержня. Предполагая, как и раньше, что напряжения Sα равномерно распределены по площади сечения, найдем: Sα·Fα = P, отсюда . Но, так как  – нормальное напряжение по площадке mk, следовательно, Sα=σ0 cosα. Для того чтобы при любом угле наклона α иметь дело с одними и теми же видами напряжений, разложим напряжение Sα на две составляющие: в плоскости mn и перпендикулярно к ней (Рис. 3.2).

Рис. 3.2

Таким образом, напряжение Sα заменяем двумя взаимно перпендикулярными напряжениями: нормальным напряжением σα и касательным напряжением τα. Величины этих двух напряжений будут меняться в зависимости от изменения угла α между нормалью к площадке и направлением растягивающей силы.

Из Рис. 3.2 имеем:

σα = Sα·cosα = σ0 cos2α;

τα=Sα · sinα = σ0 sinα · cosα = ½σ0 sin2α.

Принимаем правило знаков: растягивающие напряжения σα, т. е. совпадающие с направлением внешней нормали, будем считать положительными; нормальные напряжения обратного направления – сжимающие – будем принимать со знаком минус. Касательное напряжение считается положительным, если оно дает момент по часовой стрелке относительно центра рассматриваемого сечения, отрицательным, если оно дает момент против часовой стрелки. Наличие этих двух видов напряжений соответствует наличию двух видов деформаций: продольной деформации и деформации сдвига. Для проверки прочности необходимо установить наибольшие значения σα и τα в зависимости от положения площадки mn. Из Рис. 3.2 понятно, что σα достигает своего наибольшего значения, когда cos2α будет равен единице и угол α = 0. Максимум τα получится при sin 2α = 1, т. е. при 2α = 90° и α = 45°. Величины этих наибольших напряжений будут равны:

10. Понятие о главных напряжениях. Виды напряженного состояния материалов

Чтобы рассчитать прочность бруса при деформациях, нужно определить его напряжение в поперечном сечении. Если деформация сложная, то говорят о необходимости установить напряженное состояние в точке. Чтобы найти напряжение в точке, через эту точку нужно провести сечение. Через точку можно провести бесконечное множество сечений, следовательно, и напряжений в точке бесконечно много. Совокупность всех этих напряжений называется напряженным состоянием в точке.

Для нахождения напряженного состояния в точке тела возьмем элементарный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz, при уменьшении этих длин сторон параллелепипед стягивается в точку. На грани этого параллелепипеда действуют напряжения, указанные на Рис. 4.1. (Имеется в виду, что указанные напряжения действуют на все грани). При поворотах параллелепипеда его напряжения изменяются, и можно подобрать такое положение, в котором все касательные напряжения будут равны нулю (Рис. 4.2). Площадки, на которых действуют только положительные напряжения, называют главными, соответственно, нормальные напряжения на этих площадках также называются главными и обозначают σ1, σ2, σ3. Наибольшее из напряжений обозначается σ1, наименьшее – σ3. Необходимо учитывать знаки: напряжения растяжений считаются положительными, напряжения сжатия – отрицательными. Если известны напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, то напряжение в точке тоже считается известным.

Главные напряжения могут быть как положительными, так и отрицательными и действовать по всем направлениям координатных осей.

Если напряжение действует только в направлении одной из осей, то оно называется одноосным или линейным.

Если напряжение действует в двух направлениях, то оно называется двухосным, или плоским.

Если напряжение действует по всем направлениям координатной оси, то такое напряжение называют трехосным, или объемным.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

11. Плосконапряженное состояние материалов

В сопротивлении материалов чаще всего встречаются задачи, когда напряжение действует в двух направлениях, т. е. является плоским. Рассмотрим такое состояние.

Возьмем произвольную точку тела и рассмотрим элементарный параллелепипед с длинами сторон dx, dy, dz в ее окрестности. Рассечем этот параллелепипед плоскостью, перпендикулярной плоскости zy (Рис. 5.1).

Рис. 5.1

Рис. 5.2

На Рис. 5.2 изображены напряжения на поверхности полученной призмы. Из условий равновесия треугольной призмы через проекции сил, действующих на грани, на оси y’ и z’, можно найти напряжения на наклонной грани призмы.

sαdA – σzdAzcosα – σydAysinα – τzydAzsinα – τyzdAycosα = 0

ταdA+ σzdAzsinα – σydAycosα – τzydAzcosα + τyzdAysinα = 0

Учитывая, что dAz = 1dy = dAcosα, dAy = 1dz = dAsinα, записанные отношения в результате тригонометрических преобразований примут вид:

σα = σzcos2α + σysin2α + τzy sin2α

Если совместить оси координат z, y c направлениями главных напряжений, то соотношения примут вид:

Из последнего уравнения следует, что при α = 45° касательные выражения принимают свои экстремальные значения в точке.

τmax = ½(σz – σy)

Частный случай плоского напряженного состояния: при σx = σy τα =0, на всех проведенных через точку площадках касательные напряжения равны нулю, т. е. все площадки – главные с нормальными напряжениями σα = σy = σz = σ. Примером такого состояния может служить стенка воздушного шара, находящаяся под давлением.