Сборник “История твоей жизни” - Тед Чан

4

В начале девятнадцатого века математики стали исследовать геометрии, отличные от евклидовой; эти альтернативные геометрии приводили к результатам, казавшимся полностью абсурдными, но при этом не содержали в себе логических противоречий. Позднее было доказано, что неевклидовы геометрии вполне последовательно соотносятся с евклидовой: они логически замкнуты постольку, поскольку таковой является евклидова геометрия.

Однако тот факт, что евклидова геометрия логически замкнута, так и не был доказан. Максимум, чего удалось достичь к концу девятнадцатого века, – это доказать, что евклидова геометрия логически замкнута постольку, поскольку логически замкнута арифметика.

4a

Вначале Рене отнеслась к случившемуся как к мелкой докуке. Пройдя по коридору, она постучала в открытую дверь кабинета Питера Фабризи.

– Пит, у тебя есть минутка?

Рене вошла, зная, какой будет его реакция. Никогда прежде ни у кого на факультете она не просила совета по какой-либо проблеме – всегда бывало наоборот. Не важно.

– Я подумала, может, ты мне сделаешь одолжение? Помнишь, я пару недель назад говорила, что разрабатываю математический формализм для одной теории?

Он кивнул.

– Ты с его помощью еще аксиоматику переписывала.

– Верно, Ну, несколько дней назад я начала приходить к совершенно нелепым выводам, а теперь мой теоретический формализм противоречит сам себе. Можешь на «его взглянуть?

Выражение на лице Фабризи было в точности таким, как ожидалось?

– Ты хочешь?.. Ну конечно. С радостью.

– Прекрасно. Проблема как раз в первых нескольких страницах примеров, остальное – просто для справки. – Она протянула Фабризи тонкую стопку бумаг. – Я подумала, если мы с тобой об этом сперва поговорим, ты только увидишь то же, что и я.

– Наверное, ты права. – Фабризи посмотрел на первые пару страниц. – Не знаю, сколько у меня это займет.

– Не спеши. Когда будет возможность, просто посмотри, не покажутся ли тебе мои допущения сколько-нибудь сомнительными, что-то в этом духе. Я буду и дальше работать, поэтому скажу, если что-то получится. Ладно?

Фабризи улыбнулся:

– Ты сегодня же вечером придешь сказать мне, что нашла, в чем проблема.

– Сомневаюсь. Тут нужен свежий взгляд. Он развел руками:

– Попробую.

– Спасибо.

Маловероятно, что Фабризи до конца поймет ее формальные построения, но ей нужен был кто-то, кто бы проверил чисто технические аспекты.

4Ь

Карл познакомился с Рене на вечеринке, которую устраивал его коллега. Карла заинтриговало ее лицо: на удивление простое, оно казалось сосредоточенным и почти мрачным, но во время вечеринки он дважды видел, как она улыбается, и один раз, как хмурится. В такие моменты лицо преображалось, принимая данное выражение, словно и не знало никакого иного. Карла это застало врасплох: он мог распознать лицо, которое часто улыбалось, или лицо, которое часто хмурилось, пусть даже на этих лицах нет морщин. Ему было любопытно, как ее лицо научилось приобретать столь разные выражения, а в остальное время не выдавать ничего.

Ему понадобилось много времени, чтобы понять Рене, научиться читать выражения ее лица. Но оно того определенно стоило.

А сейчас Карл сидел в кресле у себя в кабинете с последним номером «Биологии морских существ» на коленях и слушал, как Рене в кабинете через коридор комкает бумагу. Она работала весь вечер, было слышно, как возрастает ее раздражение, хотя, когда он заглядывал час назад, она сидела с обычным непроницаемым лицом.

Отложив журнал, он поднялся и подошел к двери ее кабинета. На столе лежал открытый том, страницы были заполнены обычными иероглифическими уравнениями, перемежающимися пояснениями на русском.

Она просмотрела часть материала, едва заметно нахмурившись, отвергла его и захлопнула том. Карл услышал, как она пробормотала слово «бесполезно». Потом Рене снова убрала книгу в шкаф.

– У тебя давление повысится, если будешь продолжать в том же духе, – пошутил Карл.

– Нечего мной помыкать. Карл был ошарашен.

– И не собирался.

Рене повернулась к нему, уставилась враждебно.

– Я сама знаю, когда способна продуктивно работать, а когда нет.

Его пробрала дрожь.

– Тогда не буду тебе мешать. – Он отступил.

– Спасибо.

Ее взгляд вернулся к полкам. Карл ушел, стараясь расшифровать этот враждебный взгляд.

5

На Втором Международном конгрессе математиков в 1900 году Дэвид Гильберт представил список того, что считал двадцатью тремя самыми важными нерешенными проблемами математики. Вторым пунктом в его списке стояло требование найти доказательство непротиворечивости арифметики. Подобное доказательство подтвердит непротиворечивость значительной части положений высшей математики. По сути, оно даст твердую гарантию, что никто больше не докажет, что один равен двум. Мало кто из математиков придал значение этой задаче.

5a

Рене знала, что скажет Фабризи, еще до того, как он открыл рот.

– Черт бы меня побрал, это самая невероятная штука, какую я когда-либо видел. Знаешь, есть такая игрушка для малышей, где нужно вставить блоки с различным сечением в различной формы пазы? Читать твои формулировки – все равно что смотреть, как кто-то берет один такой блок и вставляет его во все до единого отверстия на доске, и всякий раз блок входит безукоризненно,

– Значит, ты не можешь найти ошибки?

Он покачал головой.

– Куда мне! Я попал в ту же колею, что и ты. Могу рассматривать это только под одним углом.

Рене давно уже выбралась из колеи: она нашла совершенно иной подход, но он только подтвердил исходное противоречие.

– Ладно, спасибо, что попытался.

– Дашь это посмотреть кому-нибудь еще?

– Да. Думаю послать Каллагану в Беркли. Мы переписываемся с прошлой весны, после конференции.

Фабризи кивнул:

– Его последняя статья производит сильное впечатление. Дай мне знать, если он что-нибудь найдет. Любопытство, понимаешь ли.

Сама Рене употребила бы слово посильнее, чем «любопытство».

5b

Не мучится ли Рене из-за работы? Карл знал, что в математике она никогда не видела трудностей, один только интеллектуальный вызов. Может, она впервые столкнулась с проблемой, на которой застряла? Вообще бывает ли в математике такое? Сам Карл был чистым экспериментатором; на деле он даже не знал, как Рене строит свою новую математику. Звучит глупо, но вдруг у нее кончились идеи?

Рене была слишком взрослой, чтобы испытывать страдания, свойственные вундеркинду, когда он вырастает и становится таким же, как все. С другой стороны, многие математики лучшие свои открытия сделали до того, как им исполнилось тридцать, – что если она начинает тревожиться, не приближается ли она, пусть с опозданием на несколько лет, к этому порогу?

Маловероятно. Он бегло рассмотрел несколько других версий. Может, она разочаровалась в академической науке? Ее пугает, что ее исследование стало слишком уж узкоспециальным? Или просто устала от того, что делает?

Карл не верил, что подобные страхи могут быть причиной поведения Рене; он без труда воображал себе впечатления, какие скопились бы у него, будь это так, и воображаемое не укладывалось в реальность. Что бы ни тревожило Рене, он был не в состоянии угадать, и это внушало ему беспокойство.

6

В 1931 году Курт Гёдель доказал две теоремы. Первая, по сути, показывает, что математика содержит утверждения, которые, возможно, истинны, но по природе своей недоказуемы. Даже столь элементарная формальная система, как арифметика, допускает утверждения строгие, осмысленные и кажущиеся истинными, однако эта истинность не может быть доказана формальным путем.

Его вторая теорема показывает, что претензия арифметики на полноту как раз и является таким утверждением: она не может быть доказана никаким методом, опирающимся на аксиомы арифметики. Иными словами, арифметика как формальная система не может гарантировать от таких результатов, как «1 = 2». Предположим, с подобными противоречиями до сих пор никто не сталкивался, но невозможно доказать, что никто никогда с ними так и не столкнется.

6a

И снова он зашел в ее кабинет. Когда Рене подняла на него взгляд, Карл начал решительно:

– Рене, очевидно; что… Она его оборвала:

– Хочешь знать, что меня беспокоит? Ладно, я тебе скажу. – Достав чистый лист бумаги, Рене села за стол. – Подожди, это займет всего минутку.

Карл снова открыл было рот, но Рене махнула ему, чтобы замолчал. Сделав глубокий вдох, она начала писать.

Посередине она провела черту «верху вниз, разделив страницу на две колонки. Вверху первой поставила цифру 1, вверху второй – цифру 2. Ниже стремительно нацарапала какие-то символы, которые в следующих строках развила в серию новых. Она скрежетала зубами, пока писала: было такое ощущение, что, рисуя значки, она ногтями скребет по грифельной доске.