Расколотый мир. Опыт анализа психодинамики личности человека в экстремальных условиях жизнедеятельности - Дмитрий Сочивко

1.2. Отображения и функции

Мы уже ввели понятие пары объектов. Рассмотрим теперь следующее множество пар. Пусть имеется два множества А и В. Рассмотрим множество таких пар объектов, где первый элемент всегда выбирается из множества А, а второй – из B. Все множество таких пар образует множество А и B. Ограничим теперь указанное соответствие следующим условием. Пусть каждый элемент из А имеет только единственную пару из множества B. Такое ограниченное соответствие называется отображением множества A в множество B, и обозначается f : A → B т. е. (а, b) ∈ f или в другой записи f (а) = b.

Рассмотрим некоторые важные свойства отображений. Будем называть элемент b = f (а) образом элемента а, а сам элемент а прообразом элемента b. Соответственно все множество А всегда является прообразом при отображении f, а множество В содержит в себе некоторое подмножество, которое является образом множества А. Если образ множества А совпадает со всем множеством В, т. е. каждый элемент из В имеет хотя бы один прообраз, то отображение называется сюръективным или обладает свойством сюръективности. В множестве В могут, однако, быть элементы, которые не являются образами никаких элементов из А, если а при этом еще каждый из тех элементов, которые являются образами элементов из А, имеет единственный прообраз, то такое отображение называется инъективным или обладает свойством инъективности. Если отображение одновременно обладает двумя указанными свойствами, т. е. является сюръективным и инъективным, то такое отображение называют биективным или взаимно однозначным.

В качестве примера сюрьективного отображения можно привести соответствие множества психических образов (восприятии и представлений) и множества мыслей, выраженных в законченной фазе.

В начале нынешнего века остро обсуждался вопрос, является ли отображение множества мыслей в множество образов сюръективным или нет (само обсуждение велось, конечно, в других терминах). В своей известной статье «Мышление без образов» А. Бине оспорил мнение, что каждая мысль обязательно сопровождается образными представлениями. Вопрос этот не может считаться решенным и сегодня. Современная психология, однако, склоняется к мнению, что существует образный эквивалент каждой мысли, и с помощью специальной процедуры (так называемой методики пиктограмм) он может быть восстановлен. Подчеркнем здесь тот факт, что обратного отображения именно в силу сюръективности данного отображения определить нельзя, т. е. не существует отображения множества образов в множество мыслей, так как всегда найдутся образы, которые по тем или иным причинам проходят мимо сознания человека или могут быть им отражены в виде законченной мысли и т. д. Точно так же не существует отображения множества объектов внешнего мира в множестве образов, так как всегда существуют объекты, которые человек никогда не видел. Уяснение свойств психического отражения в рамках этой простой модели подготавливает понимание более глубокого тезиса, сформулированного А.Н. Леонтьевым, – деятельность всегда богаче опережающего ее сознания.

В данных примерах мы невольно затронули вопрос о проблеме, как быть, если отображение нельзя определить для всего того множества, которое мы хотим отобразить в другое. Как, например, отобразить множество внешних объектов во множество образов, при этом исследовательская задача требует именно такой модели. В этом случае используется другое понятие – понятие функции.

Пусть у нас имеется два множества А и В, а также определено некоторое подмножество A: A' ∈ A. Задание функции означает, что определено отображение подмножества А в В, а для остальных элементов из А A' данное отображение, а значит, и соответствующая функция не определены, иногда также говорят, что В является функцией А, не забывая при этом, что функция определена только для некоторого подмножества А, равного A'. Таким образом, множество психических образов будет являться функцией множества объектов внешнего мира в том и только в том случае, если для различных объектов будут существовать различные образы. Такое утверждение наталкивает исследователя на мысль установить экспериментально способ задания этой функции. Мы помним, что функция по определению также является некоторым множеством пар. Рассмотрим два способа задания функции – табличный и аналитический. В первом случае составляется таблица, где каждому элементу области определения функции (отображаемого пространства или множества начала) сопоставляется элемент отображающего множества (или множества конца).

При аналитическом способе задается некоторое выражение, позволяющее посредством подстановки в него элементов множества начала получать соответствующие элементы множества конца. Оба эти способа не могут быть непосредственно применены в интересующем нас случае по той простой причине, что психический образ не может быть извлечен из человеческого мозга и вообще не является непосредственно наблюдаемым объектом. Он присущ только конкретному человеку. Как подчеркивал С.Л.Рубинштейн, «если что-то дано человеку непосредственно, то никаким иным способом оно уже дано быть не может». Попытки преодолеть это препятствие делались посредством построения процедур отображения множества физических объектов и множества образов в некоторое третье множество – чаще всего множество действительных чисел, с последующим рассмотрением функций, заданных на декартовом квадрате множества действительных чисел. При этом указанные процедуры строятся так, чтобы обеспечить биекцию отображения F: f → f', где f ⊂ А x B, a f' ⊂ R × R. Приведем некоторые примеры функций, выступающих в качестве моделей психических явлений. Одной из наиболее известных моделей такого рода является закон Г.Фехнера, связывающий функциональной зависимостью физическую интенсивность стимула (воспринимаемого внешнего объекта) и субъективную интенсивность ощущения

где S – интенсивность стимульного воздействия, R – интенсивность ощущения или воспринимаемая интенсивность. При этом, конечно, на физическую интенсивность стимула как множества начала отображения накладываются ограничения. Это прежде всего пороговые ограничения, как при любом психофизическом отображении, но, кроме того, закон Г.Фехнера действует только в средних диапазонах интенсивности раздражителей (стимулов) и не действует в околопороговых областях. Таким образом, можно сказать, что данная функция представляет собой модель трансформации физической энергии в субъективное восприятие в обычных условиях (при средних интенсивностях стимулов). С.С.Стивенс разработал иную процедуру оценки субъективной величины ощущения и предложил в качестве модели степенную функцию

Однако эта модель тоже требует существенного ограничения области задания функции. Отечественными учеными Ю.М.Забродиным и А.Н.Лебедевым был предложен обобщенный психофизический закон, позволяющий описывать восприятие физической интенсивности в более широком диапазоне условий:

Параметр z в предложенной авторами формуле является различным для различных условий. Здесь, таким образом, в качестве модели выступает уже некоторое множество, или семейство функций, различных при различных z.

До сих пор мы рассматривали функций как отображение одного множества (область определения) в другое, т. е. как некоторое множество пар объектов. Такие функции называются функциями одного аргумента, но, однако, рассматривать функции двух и более аргументов как множества троек, четверок и т. д. Линейные функции нескольких аргументов широко используются в психологии личности. Личность в этом случае представляется как линейная функция некоторого конечного множества признаков. Введенные на данный момент понятия позволяют дать точное определение того, что мы будем в дальнейшем понимать под термином «модель». Моделью мы будем называть пару множеств, причем первым членом пары выступает множество реальных или идеальных объектов (в качестве последних чаще всего используются числа или буквы), а вторым членом пары является множество отношений, заданных над множеством объектов. При этом, конечно, мы не ограничиваемся рассмотрением только бинарных отношений (хотя часто этого бывает достаточно), в множество отношений могут входить отношения любого порядка арности. Максимальный порядок арности отношений, входящих в модель, будем называть размерностью модели.