Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - Питер Эткинз

И чтобы избежать утомительных повторений этих слов «является равным», я буду рисовать, как часто уже делал это для облегчения работы, две параллельные линии одинаковой длины, так как нет двух вещей, которые были бы равны в большей мере.

Знакомый теперь знак Рэкода «=» вел долгие войны с «||» и различными обозначениями, основанными на ae, сокращении от aequalis, прежде чем наконец одержать триумфальную победу.

Сложение и умножение натуральных чисел порождают просто другие натуральные числа. Например, 2 + 5 = 7 есть натуральное число, а 2 × 5 = 10 еще одно натуральное число. Однако вычитание порождает новый класс чисел. Так, если мы вычтем 3 из 2, мы получим −1, что расширяет поле нашего дискурса от натуральных чисел до целых: …, −2, −1, 0, 1, 2, …. Отрицательные числа в момент их появления должны были очень озадачивать, поскольку людям, привыкшим лишь к пересчитыванию, было трудно понять, что такое «меньше, чем ничего».[48]

Хотя умножение натуральных чисел дает только натуральные числа, понятие умножения приводит к определению подкласса натуральных чисел, называемых простыми числами, то есть чисел, не являющихся произведением других натуральных чисел (кроме единицы и себя самого). Так, несколькими первыми простыми числами натурального ряда являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. Такое число, как 15, не является простым, так как может быть записано в виде 3 × 5; с другой стороны, 17 является простым числом, потому что его нельзя записать в виде произведения других натуральных чисел. Простые числа находились и продолжают находиться в центре повышенного внимания тех, кто заворожен числами, поскольку они, видимо, ведут себя во многом подобно фундаментальным «атомам» натуральных чисел: с точки зрения операции умножения они являются числами, из которых можно построить все остальные числа. Этот фундаментальный характер является сутью содержания фундаментальной теоремы арифметики Евклида, которая утверждает, что каждое представление натурального числа произведением простых чисел является единственным. Например, такое число, как 9 365 811, может быть выражено в виде произведения простых чисел только одним способом (в данном случае, как 3 × 72 × 133 × 29). Эта фундаментальная теорема является основой современных процедур кодирования, в которых используются произведения двух больших простых чисел, так что изучение простых чисел не является просто делом бесстрастной математики, а играет центральную роль в обеспечении безопасности коммерческих операций и приватности связей между отдельными людьми и армиями.

Многие свойства простых чисел уже известны, но некоторые предположения еще не доказаны (а, возможно, и неверны). Одним из точно установленных фактов, известным еще Евклиду, является то, что количество простых чисел неограниченно; простые числа продолжаются без конца. На сегодняшний день самым большим известным простым числом является 213466917 − 1. Это число является примером простых чисел Мерсенна, простых чисел, имеющих форму 2p − 1, где p само есть простое число. Оно было обнаружено 14 ноября 2001 г. и потребовало бы для полной записи 4 миллиона цифр (более точно, 4 053 946), что соответствует примерно восьми книгам, размером с эту. Огромные простые числа, имеющие более чем тысячу знаков, называются «титаническими». Простые числа встречаются все реже и реже по мере их возрастания, но между любым заданным натуральным числом и его удвоением всегда найдется по крайней мере одно простое число. Например, вы можете быть уверены, что существует по крайней мере одно простое число между 1 миллиардом и 2 миллиардами; на самом деле, их миллионы. Некоторые простые числа группируются. Например, существует много «близнецов», то есть простых чисел, разность между которыми равна 2; например, 11 и 13 являются близнецами. Гипотеза о близнецах (только гипотеза) состоит в том, что существует бесконечное число близнецов, и поэтому близнецы, как и сами простые числа, продолжают встречаться без конца. Известными к настоящему времени самыми большими близнецами являются 33 218 925 × 2169690 − 1 и 33 218 925 × 2169690 + 1 (эта пара обнаружена в 2002 г., и каждое из чисел записывается 51 090 цифрами).

Есть множество других весьма причудливых свойств простых чисел. Например, обладавший необычайным воображением польско-американский математик Станислав Улам (1909-84) обнаружил, что, если вы запишете все натуральные числа по спирали, так что 1 окажется в центре, 2 справа, 3 над 2, 4 над 1, 5 слева от 4 и так далее, и пометите все простые числа, то они будут иметь тенденцию попадать на диагональные линии (рис. 10.3). Улам использовал свое воображение и другими способами: вместе с Эдвардом Теллером он открыл, как инициировать взрыв водородной бомбы.

Рис. 10.3. Спираль Улама. Если записать все натуральные числа по спирали, как показано на вставке, и пометить простые числа, то они проявят тенденцию располагаться на диагональных прямых, как можно видеть, рассматривая черную зону с простыми числами, изображенными, подобно звездам, белыми точками. Мы нарисовали некоторые из диагоналей, чтобы показать их положение; вы могли бы различить и другие.

Хотя простые числа являются фундаментальными атомами умножения (так же, как 1 тривиально является фундаментальным атомом сложения), они, может быть, играют фундаментальную роль и в сложении тоже. В 1742 г. Кристиан Гольдбах (1690-1764), однажды оказавшийся учителем царя Петра II, в письме к прославленному математику Леонарду Эйлеру (1707-83) предположил, что каждое четное натуральное число, большее 2, является суммой двух простых чисел. Так, мы имеем 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6, 3 + 5 = 8, …, 47 + 53 = 100, …. Гипотеза Гольдбаха до сих пор не доказана, несмотря на приложение огромных усилий. Трудность, по-видимому, связана с тем фактом, что простые числа, произошедшие из концепции умножения, помещаются здесь в контекст сложения. Однако эта гипотеза может быть примером того, что постепенно выдвигается в центр сцены: она, возможно, не может быть доказана и поэтому, в некотором смысле, эта гипотеза может быть ни истинной, ни ложной. Гольдбах предположил также, что каждое нечетное натуральное число является суммой трех простых чисел. Это предположение частично доказал — доказательство справедливо лишь для больших чисел — в 1937 г. русский математик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983).

Деление одного натурального числа на другое также вводит новый класс чисел, называемых рациональными числами (от «рацио»; заслуживающее доверия качество таких чисел отражено в нашем привычно используемом термине «рациональный», обозначающем разумность, основанность на разуме); примеры между 0 и 1 включают 1/2 = 0,500 000 000… и 3/7 = 0,428 571 428 57…. Заметим, что десятичные формы рациональных чисел содержат либо бесконечно повторяющийся 0, либо бесконечно повторяющуюся конечную последовательность чисел.

Если вы начнете думать как математик, который идет дальше непосредственно воспринимаемого, ищет обобщений и исследует, куда они ведут, то вы почувствуете зуд от шевелящегося в вас вопроса: существуют ли числа, не содержащие повторяющихся последовательностей и поэтому не выражаемые в виде отношения натуральных чисел? Существование таких иррациональных чисел было впервые обнаружено пифагорейцами, чья целостная философия жизни в Кротоне (сегодня Кротон, находящийся в каблуке Италии, носит название Кротоне), основанная на гармонии рациональных чисел, запрете мочиться в сторону Солнца или чистить ногти во время жертвоприношения и на поддержании социального мира путем исключения из пищи бобов (практиковавшегося самим Пифагором, чему он обучился у египетских жрецов, среди которых однажды жил)[49], была ниспровергнута, когда обнаружилось, что квадратный корень из 2, √2, = 1,414 213 5… является иррациональным и не может быть получен с помощью деления одного натурального числа на другое. С тех пор многие другие числа были идентифицированы как иррациональные, среди них π = 3,141 59… (отношение окружности к диаметру круга, π введено в качестве символа Эйлером в 1737 г., а иррациональность была установлена в 1767 г.)[50], π2 (иррациональность установлена в 1794 г.) и e = 2,718 28… (основание натурального логарифма). Иррациональность доказать трудно: например, хотя известно, что еπ иррационально, все еще неизвестно, обладает ли этим свойством πe.

Рациональные и иррациональные числа, как положительные, так и отрицательные, включая ноль, называются действительными числами. Чтобы вообразить действительные числа, мы можем представить себе, что каждое число соответствует точке прямой, где самые большие числа находятся справа. Действительные числа, подобно точкам на прямой, простираются от минус бесконечности слева до плюс бесконечности справа и включают все возможные числа — целые, рациональные и иррациональные. Это соответствие действительных чисел с точками прямой явилась решающим шагом в осознании того, что геометрия — свойства различных линий, а значит, наборов точек, а значит, наборов действительных чисел — может рассматриваться, как ветвь арифметики. Мы не пойдем по этому пути в настоящей главе, но вам следует иметь в виду, что, хотя мы и будем сосредотачиваться на идеях, которые являются явно арифметическими, в скрытом виде они включают и другие области математики, такие как геометрия (рис. 10.4).