Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

остальные фишки на своих местах, тоже невозможно. Ваши вопросы относятся к теории групп, основе современной алгебры. Что и как можно поменять, чтобы четность менялась — этот вопрос напрямую к теории групп[7]. Почему ровно половина позиций имеет четное количество беспорядков? Это тоже связано с некоторым фактом из теории групп. Сейчас я продолжу развивать эту тему. Рассмотрим «кубик Рубика». Венгерский инженер Рубик достойно продолжил дело, начатое Сэмом Лойдом.

Давайте разберем этот кубик и соберем его обратно.

Слушатель: По-моему, есть даже какие-то соревнования на этот счет.

А.С.: На соревнованиях надо собрать тот, который теоретически возможно собрать. Под словом «разобрать» я понимаю более радикальную операцию: «разодрать».

Как только мне купили кубик Рубика, я сразу его разодрал. Потому что мне было интересно, любую ли позицию можно привести к исходной. Мне было это настолько долго интересно, что на мехмате МГУ я решил соответствующую задачку в качестве зачета. Возможно (если мне не изменяет память) 12 разных расположений, не переводящихся друг в друга. В пятнашках — 2, а для кубика Рубика — 12 ситуаций. Это тоже следует из теории групп (по которой я и сдавал зачет).

Если перевернуть угловой кубик в кубике Рубика путем принудительного «раздирания» и восстановления его формы — его нельзя будет собрать. Если перевернуть центральный кубичек в ребре — тоже нельзя. Если поменять местами два кубика малой «диагонали» любой грани — опять не получится. Эти изменения и все их сочетания задают набор различных позиций кубика Рубика, которые нельзя собрать. Однако это — трудная задача.

А теперь поговорим про мяч (рис. 3). То есть, как ни странно, снова про математику.

Математика состоит из двух важных составляющих: что такое число, и что такое доказательство. Моя старшая дочка не могла в свое время решить задачу: есть 3 апельсина и 2 яблока, сколько всего фруктов? Она совершенно не понимала, как можно сложить яблоки с апельсинами. Это же совершенно про разное. Мне кажется, что это типичное гуманитарное мышление. Человек фокусируется на содержании объекта и не может от него уйти. А вот старший сын решал эту задачу, когда ему было два с половиной года. Я ему говорил: «У тебя было 3 грузовика и 2 легковушки…» — «Ой, пап, давай просто 3 + 2, — зачем, всё это… ерунда… Говори три и два, и будем складывать». Ведь что такое число? Число — это умение абстрагироваться от объекта. Говорят, в каких-то таежных культурах, где-то далеко на востоке Сибири, имеются до сих пор разные числительные для обозначения, например, количества белых медведей и количества деревьев. У них формализация числа 5 как выражающего общность пяти медведей и пяти сосен еще не произошла. На осознание того, что у 5 медведей и 5 сосен есть общее, человечество потратило много тысячелетий. И в тот момент, когда это осознание настало, началась математика. А на память об этом процессе в русском языке до сих пор говорят «сорок» вместо «четырьдесят», хотя раньше можно было сказать «сорок собольих шкурок», но не «сорок деревьев».

А теперь рассмотрим поближе футбольный мяч. Он состоит из шестиугольников и пятиугольников: двадцати шестиугольников и двенадцати пятиугольников.

Зачем? Почему так сложно? Вот вы, допустим, шьете футбольные мячи, чем вам не угодили просто шестиугольники? Взяли, сшили их по краям. Плоскость, например, отлично замощается шестиугольниками.

Слушатель: Но они, может быть, в мяч не сложатся.

А.С.: Давайте попробуем сложить огромный мяч. Возьмите 200, 300 шестиугольников. Плоскость-то элементарно замощается? Вот так, как я нарисовал. Пчелиные соты (рис. 23).

Рис. 23. Пчелы — они тоже математики (сами того не зная…).

Слушатель: Они на стыках не будут совпадать.

А.С.: Ну тут-то, на плоскости, вроде всё совпадает. А потом взял, свернул очень большой кусок плоскости и получил мяч.

Слушатель: Не остается места для того, чтобы правильно согнуть.

А.С.: Я даже не знаю, как выразить простым языком Ваше правильное интуитивное замечание. Но математическая теория этого вопроса неумолима. Из шестиугольников нельзя собрать поверхность шара. Вообще, никак, никаким способом даже если их нарисовать на поверхности шара в слегка искривленном виде[8]

Слушатель: А из пятиугольников?

А.С.: Сейчас мы проясним ситуацию, связанную с пятиугольниками. Во-первых, давайте договоримся о том, что сшивать надо так, чтобы в каждой вершине сходилось три образующих поверхность мяча многоугольника. Будем называть такую сшивку регулярной. Сразу скажу, что никакой, регулярной ли, не регулярной, никакой сшивкой из шестиугольников нельзя сшить футбольный мяч. Но давайте сейчас рассмотрим подробно регулярные сшивки. Возьмем всевозможные футбольные мячи, любого размера, которые составлены из пятиугольников и шестиугольников.

Неожиданная теорема:

Если поверхность шара «сшита» регулярным образом из некоторого количества х шестиугольников и некоторого количества у пятиугольников, то у обязательно равно 12.

Слушатель: В любом случае?

А.С.: В любом. Как ни экспериментируй, что ни делай, чему бы х ни равнялось, х = 200, х = 300… Но у = 12. Ровно 12, не 12000, не 120. От размера мяча не зависит, от размера лоскутков не зависит, от того, как сшивать, не зависит. Это — математическая теорема.

Слушатель: Невероятно…

А.С.: Есть абсолютное доказательство этой теоремы. Если вы хотите сшить футбольный мяч из пятиугольников и шестиугольников, пятиугольников обязательно будет ровно 12.

Слушатель: Какой диаметр?

А.С.: Не важно: ни диаметр, ни размер лоскутков, ни то, как сшивать. Вы никогда не сошьете ничего другого. Какие бы приказы не издавала… ну, скажем, фабрика «Спортинвентарь». Скажем, придет к власти новая футбольная партия и скажет: «Отныне сшивать мячи так, чтобы в них было поровну шестиугольников и пятиугольников». Тогда их обязательно будет 12 к 12.

Слушатель: То есть такое тоже может быть? Прямо 12 к 12?

А.С.: Да. А знаете, как еще может быть? Ноль шестиугольников и 12 пятиугольников. Ни одного шестиугольника, одни пятиугольники.

Слушатель: А зачем тогда шестиугольники?

А.С.: Видимо, для того, чтобы мяч был гладкий. Ноль шестиугольников — 12 пятиугольников. 200 шестиугольников — всё равно 12 пятиугольников.

Слушатель: Скажите, а вот эта теорема появилась уже после футбольного мяча? Или футбольный мяч появился раньше?

А.С.: Футбольный мяч появился «чуть-чуть» раньше. Если честно, теорему эту полностью осознали примерно 150 лет назад. Но этот результат, как и очень многие другие, должен быть отнесен к Эйлеру. Леонард Эйлер жил больше половины жизни в Петербурге и похоронен там же на Смоленском лютеранском кладбище. Он ввел в математику понятие инварианта. Эйлер показал, что есть в математике такие вещи, которые не меняются, что