На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы - Довид Ласерна

Спектр излучения печи определяет границы поля, на котором будет рассмотрено, насколько эффективно классическая физика может теоретически обосновать эти кривые при моделировании поведения газа и света. Этот вызов согласился принять Макс Планк — прусский ученый, от которого, после 40 лет спокойной работы, никто не ожидал великих свершений.

РИС. 3

РИС. 4

Революция поневоле

Хотя отдельные предпосылки можно найти и в более ранних работах, авторство квантовой механики связывают с именем Макса Планка, который 14 декабря 1900 года представил Немецкому физическому обществу результаты своих исследований в статье под названием «К теории распределения энергии излучения нормального спектра». Это исследование, появившееся в последний месяц последнего года XIX века, поставило радостную фермату над целым веком развития науки, хотя описанное в нем открытие вскоре обрушило все основы научного знания.

До этих пор Планк в своей научной карьере не занимался изучением и применением второго закона термодинамики. Его любопытство было направлено на поиски абсолютных законов, таких принципов, которые сохраняются во все времена. Именно поэтому универсальное излучение печи привлекло внимание ученого, которого часто называют революционером поневоле — и определение не отдает должного упорству исследователя. Из всех ученых, содействовавших рождению квантовой теории, Планк, без сомнений, следовал наиболее консервативным принципам. Так, в течение многих лет он отрицал существование атомов и защищал непрерывность материи, и эта позиция была понятна, ведь специальность Планка — классическая термодинамика — не углублялась в недра изучаемых систем. И учитывая это, выглядит настоящей иронией судьбы тот факт, что именно Планку приписывают ответственность за нанесение последнего удара по классической непрерывности.

Также ученый выступал против любой статистической интерпретации второго закона, он был убежден в том, что увеличение энтропии абсолютно, хотя анархический характер этой идеи внушал Планку некоторое отвращение. Стремление к знаниям, смешанное с предрассудками, ставило его в сложное положение. В статьях ученого можно заметить осторожность профессионального игрока в покер, который рискует целым состоянием, и разгадать его блеф не всегда просто. В октябре 1900 года Планк открыл математическую кривую спектра излучения, видимую на предыдущем рисунке. Он обнаружил функцию, зависящую от частоты и температуры, что привело — при подстановке числовых значений v и Т — к тем же кривым, что были получены в лаборатории. Так ученый обнаружил математическую модель закона излучения, который он искал. Открытие само по себе было заметным успехом, но амбиции Планка не остановились на этой простой формуле: он хотел сделать ее следствием физической картины мира, в котором ее можно было бы последовательно применять. Ученый безоговорочно признавал свой собственный постулат: «С того момента, как я сформулировал [закон], я старался придать ему физический смысл». Едва ли он сам понимал, насколько обескураживающим будет этот искомый смысл.

Это одна из наиболее важных и трансцендентальных интерполяций в истории физики; она обнаруживает почти сверхъестественную физическую интуицию.

Макс Борн о формуле излучения, открытой Планком

С самого начала Планку не хватало важных элементов, которые позволили бы понять, что происходит внутри печи.

Например, на тот момент, когда Планк решил обратиться к задаче, о существовании нейтронов и протонов было еще неизвестно. Электроны вошли в физику лишь за три года до этого, в 1897 году.

Планк мог опираться на два важных достижения физики XIX века — термодинамику и электродинамику Максвелла. Шотландский математик заявил, что колебание электрического заряда генерирует электромагнитные волны — именно так работают антенны, которые произвели настоящую революцию в мире телекоммуникаций (сегодня нас окружают микроволны, испускаемые нашими мобильными телефонами).

В радиоантенне электромагнитная волна приводит в движение электроны, которые встречает на своем пути. Таким образом, стенки печи взаимодействуют с излучением благодаря возвратно-поступательному движению электронов. Последние остаются в своих атомах и колеблются вокруг фиксированных точек. В статье Планк не упоминает ни об электронах, ни о материи и говорит только о «колебании» (осцилляторе, генераторе колебаний).

Пустая и остывшая печь не испускает никакого излучения. Нагревание системы мгновенно вызывает возбуждение электронов и испускание электромагнитных волн. Эти волны распространяются, пересекают пространство печи и в конечном счете сталкиваются с другими стенками и другими электронами, при этом ведут себя как принимающие и излучающие антенны. Взаимодействие между светом и материей началось. Через некоторое время достигается стабильная ситуация: печь наполняется излучением, разделенным на разные частоты в зависимости от уже упомянутой спектральной кривой.

Планк стремился показать, что как только будет достигнуто равновесие, подтвердится второй закон термодинамики. Каким бы изменениям ни подвергалась печь, энтропия в конечном итоге со временем возьмет верх. Таким образом, ученому необходимо было определить все микроскопические конфигурации, связанные с каждым макроскопическим состоянием системы, присвоить каждой конфигурации вероятность и отыскать наиболее вероятную (с максимальной энтропией). В этот момент научная решительность Планка заставила умолкнуть его предрассудки. У него не было иного выбора, кроме как применить статистическую интерпретацию Больцмана и идею о том, что вероятность каждого состояния пропорциональна числу микроскопических конфигураций, совместимых с этим состоянием. Он также воспользовался другой находкой венского физика для расчета вероятностей.

Для вычисления энтропии можно прибегнуть к двум типам переменных: дискретным или непрерывным. Если мы решим выделить группу из 20 зрителей в кинозале, то увидим, что места, которые они могут занимать, ограничены. Каждый зритель занимает конкретное место, и на плане зала каждая смена места выражается резким скачком. В этом случае мы говорим о дискретной переменной. Но если мы должны выделить в коробке группу из 20 молекул, вариантов их расположения безграничное множество. Чтобы изменить положение, молекулам не нужно делать резких скачков: им достаточно переместиться на сколь угодно малое расстояние, и это уже будет новое положение.

С математической точки зрения работать с дискретными переменными гораздо удобнее, чем с непрерывными. Идея

РИС. 5

РИС. 6

РИС. 7

Больцмана заключается в том, чтобы взять непрерывное пространство и представить его как дискретное. Возьмем, к примеру, ограниченную квадратом поверхность, как показано на рисунке 5.

В ограниченном пространстве число позиций, которые может занимать частица, бесконечно. Как в таком случае их учитывать? Достаточно нанести сетку и считать, что все точки, лежащие в одной клетке, занимают одно и то же положение (рисунок 6).

Можно пронумеровать состояния, как места в кинозале, и сосчитать их. Чем тщательнее процесс выборки, тем точнее будет приближение (рисунок 7).

Когда площади клеток стремятся к нулю (□—>0), мы возвращаемся в наше непрерывное пространство с бесконечным числом точек. Таким образом, при работе с непрерывными переменными стратегия состоит в том, чтобы выбрать диапазон вероятностей и установить математическую структуру для учета состояний и определения вероятностей. Затем сетка удаляется, и происходит переход дискретного вычисления в непрерывное.

Изучая проблему печи, Планк должен был распределить доступную энергию между осцилляторами стенок и внутренним излучением. Чтобы провести расчеты, он решил выразить энергию в дискретных фрагментах: ε = h • v, где h — константа, a v — частота излучения.

Определяя вероятность каждого положения и устремляя h к нулю, он восстанавливал непрерывное пространство и добивался желаемого результата. Однако еще до достижения последнего этапа, в то время как энергия оставалась дискретной, Планк уже пришел к правильной формуле излучения. Что случилось бы, если бы он захотел идти до конца? Тогда он получил бы результат, согласно которому энергия стремилась бы к бесконечности. На практике это означало бы, что при открывании печи из нее вырвалась бы смертельная вспышка ультрафиолетовых лучей,— так гласила классическая физика.

Но уменьшить h до бесконечности было невозможно. Кроме того, в соответствии с уравнением излучения и при сравнении теоретической и экспериментальной кривых постоянная в конечном итоге достигла определенного значения, которое не уменьшалось: 6,62 • 10-34 Джс. Другими словами, осциллятор, вынужденный совершать колебательные движения вперед и назад, за 1 секунду приобретает энергию, равную 6,62 • 10-34 Дж. Речь идет о совершенно незначительном количестве энергии: 1 Дж позволяет поднять небольшое яблоко весом около 100 г на высоту 1 м.