Живой учебник геометрии - Яков Перельман

С у м м а у г л о в т р е у г о л ь н и к р а в н а д в у м п р я м ы м у г л а м, т. е. 180°.

Повторительные вопросы

Какая фигура называется треугольником? – Сколько у треугольника вершин? Покажите их на чертеже. – Покажите на чертеже внешний угол. – Какая зависимость существует между внешним углом и несмежными с ним внутренними? Как в этом убедиться? – Чему равна сумма углов всякого треугольника?

§ 16. Следствия предыдущего параграфа

Предварительные упражнения

1) Попробуйте начертить треугольник с двумя тупыми углами. С одним тупым и одним прямым. С двумя прямыми.

2) Какой из углов на черт. 46 больше: уг. 1 или уг. 3? Уг. 1 или у г. 2?

3) Из точки D (черт. 47) проведен к прямой ВС перпендикуляр DА. Можно ли через ту же точку Dпровести к ВС еще один перпендикуляр, который не сливался бы с DA?

4) К прямой АВ (черт. 48) проведены три перпендикуляра. Пересекутся ли они между собой, если продолжить их в обе стороны?

5) Прямую АВ (черт. 49) встречают две прямые CDи EFпод равными со ответственными углами. Пересекутся ли эти две прямые, если продолжить их в обе стороны?

Из свойств суммы углов треугольника вытекает ряд других свойств фигур. Заметим некоторые из них:

1) В т р е у г о л ь н и к е н е м о ж е т б ы т ь б о л ь ш е о д н о г о т у п о г о у г л а (подумайте, какова должна была бы быть сумма всех углов треугольника, если бы три или два его угла были тупые, т. е. больше прямого).

2) В т р е у г о л ь н и к е н е м о ж е т б ы т ь б о л ь ш е о д н о г о п р я м о г о у г л а (почему?)

3) В н е ш н и й у г о л т р е у г о л ь н и к б о л ь ш е к а ж д о г о н е с м е ж н о г о с н и м в н у т р е н н е г о (см. черт. 45).

Черт. 48 Черт. 49

4) Ч е р е з т о ч к у, л е ж а щ у ю в н е п р я м о й, м о ж н о п р о в е с т и к э т о й п р я м о й т о л ь к о о д и н

п е р п е н д и к у л я р. – Если бы, например (черт. 50), к прямой МN можно было провести из точки А больше одного перпендикуляра, – скажем, кроме АВ еще АС, – то в треугольнике ABCоказалось бы два прямых угла, а это, мы знаем, невозможно.

5) Н е с к о л ь к о п е р п е н д и к у л я р о в к о д н о й п р я м о й л и н и и (черт. 48) в с е г д а п ар а л л е л ь н ы

м е ж д у с о б о ю. Если бы они были не параллельны, т. е. если бы они встречались, то составились бы треугольники с двумя прямыми углами каждый.

6) П р я м ы е л и н и и, в с т р е ч а ю щ и е о д н у и т у ж е п р я м у ю п о д р а в н ы м и с о о т в е т с т в е н н ы м и

у г л а м и (черт. 51), п а р а л л е л ь н ы м е ж д у с о б о й. – Если бы они были не параллельны, т. е. если бы встречались, то уг. 2, например, оказался бы внешним углом треугольника, а р а в н ы й е м у уг. 1 – внутренним углом того же треугольника; но это невозможно (см. следствие 3-е).

На последнем свойстве основан способ проводить параллельные линии с помощью линейки и чертежного треугольника (черт. 52).

Повторительные вопросы

Могут ли три угла треугольника быть тупыми? А только два угла? – Может ли в треугольнике быть три прямых угла? А два прямых угла? (Попробуйте начертить такой треугольник). – Сколько перпендикуляров можно провести к прямой линии из внешней точки? – Каким свойством обладают два перпендикуляра к одной прямой? – Каким свойством обладают две прямые, встречающие третью под равными соответственными углами? – Как чертят параллельные помощью линейки и чертежного треугольника?

§ 17. Как построить треугольник по трем сторонам

Рассмотрим следующую задачу:

Расстояния между тремя селениями 7 км, 5 км и 6 км. Начертить расположение этих селений в масштабе 1 км в 1 см.

Ясно, что точки, изображающие селения, нужно расположить на вершинах треугольника, стороны которого 7 см, 5 см и 6 см.

Объясним, как начертить («построить») этот треугольник

Проведем (черт. 53) по линейке прямую линию MNи отложим на ней помощью циркуля одну из сторон треугольника – напр., в 6 см. Концы этого отрезка обозначим буквами А и В. Остается найти такую третью точку, которая удалена от А на 7 см и от В на 5 см (или наоборот): это и будет третья вершина треугольника со сторонами 7 см, 5 см и 6 см. Чтобы эту точку разыскать, раздвигают сначала концы циркуля на 7 см и описывают окружность вокруг точки А, как около центра (черт. 54). Все точки этой окружности отстоят от Aна 7 см; среди них нужно найти ту, которая отстоит от вершины В на 5 см. Для этого вокруг В, как около центра, описывают окружность радиусом 5 см. Где обе окружности пересекаются, там лежат точки, удаленные от А на 7 см и от В на 5 см (черт. 54). Наши окружности пересекутся в двух точках С и D. Соединив их с А и В, получим два треугольника САВ и DAB, имеющие стороны в 6 см, в 7 см и в 5 см.

Нетрудно убедиться, что треугольники эти равны, т. е. будут совпадать, если их наложить один на другой. Для этого перегнем черт. 54 так, чтобы линией перегиба была прямая МN, и чтобы верхняя часть чертежа покрыла нижнюю. Обе окружности перегнутся при этом по их диаметрам, и верхние полуокружности совпадут с нижними (почему?); но если совпадают все– точки обеих полуокружностей, то должны совпадать и точки их пересечений С и D, а тогда сольются и стороны обоих треугольников. Значит, треугольники CAB и DАВ – равны.

Мы могли бы вести построение треугольника и в другом порядке: отложить на МN сначала сторону в 7 см и описать окружность радиусами 5 см и 6 см. Или же отложить сначала сторону в 5 см, и описать окружность радиусами в 6 см и в 7 см. При любом порядке построения у нас будут получаться одни и те же треугольники, только различно повернутые (или перевернутые на левую сторону). В подробных учебниках математики доказывается, что все треугольники, составленные из одинаковых сторон, равны между собою (т. е. при наложении совпадают всеми точками). Другими словами, если три стороны одного треугольника порознь равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники можно наложить друг на друга так, чтобы все их точки совпали. Это выражают короче так:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о т р е м с т о р о н а м.

Так как при совпадении сторон треугольников совпадают и их углы, то ясно, что в равных треугольниках между равными сторонами (и против равных сторон) лежат и равные углы. Равенство трех сторон треугольников есть признак того, что у этих треугольников равны и углы. Значит, в треугольнике нельзя изменить углов, не меняя длины его сторон: иначе оказалось бы возможным получить треугольники с одинаковыми сторонами и в то же время с неодинаковыми углами. Этим свойством треугольника часто пользуются на практике. Например, чтобы рама АВCD (черт. 55) прочно сохраняла свою форму ее разбивают перекладкой BDна два треугольника (черт. 56). Тоже назначение имеет и сеть треугольников в частях мостов и др. сооружений (черт. 57 и 58).

Всегда ли по трем сторонам можно построить треугольник? Вникая в описанное раньше построение, мы поймем, что третья вершина треугольника отыскивается только тогда, когда окружности пересекаются. Если бы на черт. 54 сторона АВ была не в 6 см, а в 15 см, то другие две стороны (7 см и 5 см) давали бы слишком короткие радиусы, чтобы окружности могли пересечься, и тогда треугольник нельзя было бы построить. Вообще, если один отрезок больше, чем сумма двух других, то из таких отрезков нельзя построить треугольника. Это и прямо видно из фигуры всякого треугольника (черт. 44): прямая линия – самая короткая из всех, проведенных между ее концами; поэтому AС меньше, чем АВ + ВС; АВ меньше, чем АС + ВС; ВС меньше, чем АВ + АС. Вообще:

В т р е у г о л ь н и к е к а ж д а я с т о р о н а м е н ь ш е с у м м ы д в у х д р у г и х.

Повторительные вопросы

Постройте треугольник, стороны которого 44 мм, 58 мм и 66 мм. – Какие углы равны в равных треугольниках? – Из всяких ли трех отрезков можно построить треугольник? – Какая зависимость существует между сторонами треугольника?

Применения

9. В городе три завода, взаимно удаленные на 4,8 км, 2,4 км и 3,2 км. Начертите их расположение в масштабе 80 м в 1 мм.

Р е ш е н и е. Строят треугольник со сторонами 6 см, 3 см и 4 см.

10. Возможен ли треугольник со сторонами в 10 см, 20 см и 30 см? 3 см, 4 см и 5 см? 6 см, 6 см и 13 см!