Механика от античности до наших дней - Ашот Григорьян

Исходным моментом исследований Якоби по механике является принцип Гамильтона — Остроградского, предложенный в первоначальной форме ирландским механиком и математиком У.Р. Гамильтоном и в окончательной ферме русским ученым М.В. Остроградским.

В своих «Лекциях» Якоби значительно развил теорию канонических уравнений Гамильтона, существенно расширив класс механических систем, к которым она применима. Изложив принцип Гамильтона и выведя канонические уравнения для любых механических систем, обладающих силовой функцией, в которую может входить время, Якоби применяет к этим уравнениям теорему С. Пуассона, открытую им в связи с другими задачами механики.

Немецкий математик. К. Якоби сделал ряд важных открытий в области теории эллиптических функций, вариационного исчисления, дифференциальных уравнений, теоретической механики и других математических дисциплин 

В дальнейшем Якоби находит много различных случаев получения интегралов уравнений движения. Например, рассматривая системы с силовой функцией, Якоби показывает, что в случае, когда можно выбрать такие обобщенные координаты qi, где силовая функция не зависит от координаты qs, а живая сила зависит от нее, можно получить интеграл данной системы уравнений в виде os = const (при этом говорят, что координата qs циклическая).

Важнейший результат К. Якоби — его теорема о том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, т. е. интегральные поверхности указанного уравнения в частных производных состоят из интегральных кривых системы канонических уравнений, определяющих движение механической системы. Тем самым интегрирование канонических уравнений сводится к разысканию полного интеграла уравнений в частных производных.

Дальнейшее обобщение метода Гамильтона — Якоби было осуществлено М.В. Остроградским.

ТРУДЫ ОСТРОГРАДСКОГО ПО МЕХАНИКЕ

За свою почти сорокалетнюю научную деятельность Михаил Васильевич Остроградский (1801 —1861) создал ряд ценных трудов по основным проблемам механики. Ему принадлежат первоклассные исследования по методам интегрирования уравнений аналитической механики и разработке обобщенных принципов статики и динамики.

Многочисленные исследования М.В. Остроградского по механике можно разбить, как это сделал Н.Е. Жуковский, на три группы: 1) работы по началу возможных перемещений, 2) работы по дифференциальным уравнениям механики и 3) работы по решению частных механических задач.

Наиболее выдающиеся исследования Остроградского относятся к обобщениям основных принципов и методов механики. Он внес существенный вклад в развитие вариационных принципов. Вариационные принципы механики входят в круг вопросов, интересовавших Остроградского в течение всей его жизни. Постоянное возвращение к вариационному исчислению и вариационным принципам механики роднит его с Лагранжем — одним из создателей вариационного исчисления и творцом аналитической механики. Ранее нами указывалось, что вариационными принципами механики занимались такие корифеи науки, как Ферма, Мопертюи, Эйлер, Лагранж, Гамильтон. Мы также отметили, что новый этап в разработке принципа наименьшего действия связан с именем Лагранжа, который поставил целью свести динамику к чистому анализу. В работах Лагранжа проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного исчисления.

Такой же подход к механике характерен и для Остроградского, который рассматривал ее проблемы, как правило, в самом общем виде. Общая постановка вопроса вела в свою очередь к изучению вариационного исчисления, в которое как частный случай входит динамика. Поэтому мемуар Остроградского «О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров» (1850) принадлежит в равной мере как механике, так и вариационному исчислению. В силу такого сугубо математического подхода (как у Лагранжа) исследования Остроградского значительно обогатили, развили и углубили понимание вариационных принципов прежде всего с математической точки зрения.

Русский математик и механик, основатель аналитической механики в России. М.В. Остроградский разрешил ряд важных задач в области гидродинамики, гидростатики, теории упругости, теории теплоты, баллистики. Автор многочисленных трудов по математике и небесной механике 

В названном мемуаре Остроградский рассматривает вариационную задачу, в которой подынтегральная функция зависит от произвольного числа неизвестных функций и их производных сколь угодно высокого порядка, и доказывает, что задача может быть сведена к интегрированию канонических уравнений Гамильтона, которые можно рассматривать как такую форму, в которую можно преобразовать любые уравнения, возникающие в вариационной задаче. Это преобразование не требует никаких операций, кроме дифференцирования и алгебраических действий. Заслуга такого обобщения задачи динамики принадлежит М.В. Остроградскому.

Кроме того, Остроградский ослабил ограничения на связи, всегда считавшиеся до него стационарными, и тем самым существенно обобщил проблему.

В 1850 г. Остроградский опубликовал еще один мемуар, содержащий важные результаты по математической теории уравнений движения, — «Об интегралах общих уравнений динамики» (представлен в 1848 г.). Он показал, что и в более общем случае, когда связи и силовая функция содержат время (этот случай был оставлен в стороне Гамильтоном и Якоби), уравнения движения также могут быть преобразованы в гамильтонову форму.

Одним из важных вопросов механики является задача интегрирования уравнений движения, которые составляют вариационный принцип. Разработка теории интегрирования канонических уравнений принадлежит Гамильтону, К. Якоби и Остроградскому.

Эта теория состоит из трех основных этапов. Прежде всего необходимо было найти наиболее простую возможную форму дифференциальных уравнений движения. Такой формой оказались канонические уравнения; они получили свое название благодаря замечательному свойству инвариантности относительно некоторых преобразований координат. Термины «канонические уравнения», «канонические преобразования» были введены Якоби.

Следующим этапом является установление общих законов подобных преобразований. Так была развита теория канонических преобразований и их инвариантов. Отсюда видно, что существует глубокая внутренняя связь между аналитической динамикой и общей теорией групп преобразований. Впоследствии эта связь была открыта норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899), и вся теория приняла удивительно стройный и красивый вид: в механику вошли новые идеи, характерные для математики конца XIX в. Якоби показал, что существует такое каноническое преобразование, которое приводит исходные уравнения к новым, легко интегрируемым уравнениям. Таким образом, задача прямого интегрирования канонических уравнений заменяется другой математической задачей: найти вид соответствующего канонического преобразования. Наконец, остается задача интегрирования канонических уравнений. Оказалось, что интегрирование этих уравнений равносильно интегрированию уравнения в частных производных, так называемого уравнения Гамильтона — Якоби.

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М.В. Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла независимо от Гамильтона и Якоби он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных.

«По своей ясности, — писал Н.Е. Жуковский, — рассматриваемый мемуар Остроградского («Об интегралах общих уравнений динамики». — А. Г.) являлся по тогдашнему времени весьма ценным изложением теории интегрирования уравнений динамики и может с успехом служить для лекционных целей и в настоящее время»{179}.

Остроградский придавал большое значение изучению величин, инвариантных относительно преобразований координат. Он отмечает свойство инвариантности канонических уравнений и дает этому факту совершенно правильное объяснение: причина заключается в том, что само движение не зависит от выбора системы координат.