«Если», 2011 № 02 - Журнал «Если»

Моя теория тверда как скала; любая направленная в нее стрела тут же вернется к лучнику. Откуда я это знаю? Потому что я много лет изучал ее со всех сторон; потому что я исследовал все доводы против бесконечных чисел, которые когда-либо приводились; но самое главное — потому что корнями она уходит к безошибочной первопричине всего сотворенного.

В этом конечном мире Абдул Карим размышляет о бесконечности. В математике он встречался с различными видами бесконечностей. А поскольку математика — язык Природы, значит, в физическом мире вокруг нас бесконечности тоже имеются. Они приводят нас в замешательство, ибо люди — создания ограниченные. Наши жизни, наша наука, наши религии — все это меньше, чем космос. Бесконечен ли космос? Возможно.

В математике существует ряд натуральных чисел, которые, словно маленькие решительные солдаты, шагают в бесконечность. Но есть, как известно Абдулу Кариму, и менее очевидные бесконечности. Проведем прямую линию: на одном ее конце поставим ноль, на другом — цифру один. Сколько чисел помещается между нулем и единицей? Начнем считать прямо сейчас, и скорее Вселенная погибнет, чем мы приблизимся к единице. На пути от одной точки к другой нам встретятся и рациональные, и иррациональные, и трансцендентные числа. Последние — самые интригующие: их нельзя получить путем деления целых чисел или в результате решения простых уравнений. И тем не менее в ряду простых чисел их буквально непроходимые заросли; они — самые многочисленные из всех чисел. Они, эти трансцендентные числа, появляются, когда берется некое определенное отношение, например окружности круга к его диаметру, или при сложении бесконечного числа членов ряда, или при спуске по ступенькам бесконечных цепных дробей. Самое знаменитое, конечно, число пи — 3,14159…, в котором целая бесконечность неповторяющихся чисел после запятой. Трансцендентные числа! Они так богаты на бесконечности, как мы и вообразить себе не можем.

В любой ограниченности — в этой маленькой черточке числовой линии — таится бесконечность. Какая глубокая и прекрасная идея, думает Абдул Карим. Быть может, в нас тоже есть бесконечности, целые вселенные бесконечностей?

Еще один разряд, поражающий его воображение, — простые числа, атомы арифметики, из которых составлены остальные целые числа. Они точно буквы алфавита, из которых составляют слова. Простых чисел бесконечное множество, как и подобает Божественному алфавиту, думает он.

Сколь невыразимо загадочны они! Их последовательность кажется случайной: 2, 3, 5, 7, 11… Невозможно предсказать, каким будет следующее число в этом ряду. Не существует формулы образования простых чисел. И все же в них есть какая-то загадочная закономерность, которая ускользает от самых великих математиков мира. Мелькнувший перед Риманом, но до сих пор не доказанный, намек на такой глубинный, такой исконный порядок, что он недоступен нашему пониманию.

Искать бесконечность в нашем до безобразия конечном мире — что может быть благороднее для человека, а особенно для такого, как Абдул Карим?

Будучи ребенком он приставал к взрослым в мечети: «Что это значит, когда говорят, что Аллах одновременно один и бесконечен?». Став старше, он прочел философские трактаты Аль-Кинди и Аль-Газали, Ибн Сины и Икбала, но его беспокойный ум не нашел там ответов. Большую часть жизни он провел в убеждении, что именно в математике, а не в философских спорах, лежит ключ к самым глубоким тайнам.

Он спрашивает себя: а может, фаришты, сопровождающие его всю жизнь, знают ответы, которые он ищет? Порой, завидев одного из них на краю поля зрения, он, не поворачивая головы, задает вопросы тишине:

— Верна ли гипотеза Римана?

Молчание.

— Являются ли простые числа ключом к пониманию бесконечности?

Молчание.

— Есть ли связь между трансцендентными и простыми числами?

И снова нет ответа. Лишь иногда легкий шепот, отзвуки голосов звучат у него в голове. Абдул Карим и сам не понимает, проделки это подсознания или нет, потому что не может разобрать, что говорит голос. Он вздыхает и снова погружается в чтение.

Он читает о простых числах в природе. Оказывается, распределение промежутков между энергетическими уровнями возбужденного уранового ядра сходно с распределением промежутков между простыми числами. Он лихорадочно переворачивает страницы статьи, изучает графики, пытается понять. Как странно, что Аллах поместил этот намек в глубины атомного ядра! Абдул Карим едва знаком с современной физикой — он совершает набег в библиотеку, чтобы побольше узнать о структуре атомов…

Воображение его простирается все дальше. Размышляя о прочитанном, он начинает подозревать, что, возможно, материя способна к бесконечному делению. Он захвачен идеей, что, быть может, не существует такого понятия, как элементарная частица. Взять, к примеру, кварк — он полон преонов. Возможно, и преоны, в свою очередь, состоят из еще меньших частиц. И нет предела этой все более тонкой зернистости материи.

Насколько это лучше, чем мысль о том, что этот процесс где-то заканчивается, что в какой-то точке существует, например, какой-нибудь препреон, который состоит только из себя самого. Как это фрактально устойчиво, как прекрасно — идея, что материя состоит из вложенных друг в друга ящичков, и даже в самом маленьком найдется еще меньший.

Он получает удовольствие от этой симметрии. Ведь, в конце концов, бесконечность есть не только в малом, но и в очень больших вещах. Вся наша расширяющаяся Вселенная, очевидно, не имеет края.

Он обращается к труду Георга Кантора, у которого хватило смелости привести в порядок математические исследования бесконечности. Абдул Карим скрупулезно переходит к вычислениям, водя пальцем по каждой строчке, каждому уравнению в пожелтевшем учебнике, неистово скрипя карандашом. Именно Кантору принадлежит открытие, что одни бесконечные ряды более бесконечны, чем другие — что существуют классы и уровни бесконечности. Возьмем целые числа — 1, 2, 3, 4… Бесконечность, но более низкого порядка, чем действительные числа, такие как 1,67, 2,93 и т. д. Таким образом, если мы присвоим ряду целых чисел порядок алеф-Нуль, то ряд действительных чисел будет порядка алеф-Один — словно ступени иерархии придворных вельмож. Вопрос, который не давал Кантору покоя и, в конце концов, стоил ему жизни и душевного здоровья, — континуум-гипотеза, согласно которой не существует бесконечного ряда чисел с порядком между алеф-Нуль и алеф-Один. Другими словами, алеф-Один идет следом за алеф-Нуль, без промежуточного звена. Но Кантор так и не смог этого доказать.