Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

в школе). Сейчас мы ею воспользуемся.

Теорема Фалеса (в простейшей формулировке). Если на одной из двух прямых в плоскости отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки (рис. 117).

Рис. 117. Две прямые (горизонтальная и наклонная) выходят из начала координат и пересечены системой параллельных прямых. Если на одной из прямых мы отсекли равные отрезки, то на другой прямой отрезки тоже будут равны между собой (Теорема Фалеса).

Мне дан единичный отрезок. Отложу его по горизонтальной оси от начала координат и проведу произвольную наклонную прямую (тоже из начала координат) (рис. 117).

На этой прямой отложу от начала семь равных отрезков (неважно, какой длины) и конец последнего отрезка соединю с концом единичного (горизонтального) отрезка.

После этого провожу прямые, параллельные той, что соединила концы горизонтального (единичного) отрезка и наклонного отрезка, и проходящие через конец предпоследнего из семи отрезков; затем — через конец пред-предпоследнего, и так далее.

По теореме Фалеса получается, что все получившиеся на горизонтальном единичном отрезке кусочки равны друг другу — то есть мы получили 1/7.

Корень строится немножко сложнее. Беру произвольное число а, которое я уже построил циркулем и линейкой и из которого я хотел бы извлечь квадратный корень. Откладываю сперва от него единичный отрезок (рис. 118; для примера рассмотрен случай a = 5).

Рис. 118. Отрезок a = 5 отложен между х = −3 и х = 2; единичный отрезок — между х = 2 и х = 3. Строим полуокружность радиуса 3. Проводим перпендикуляр из точки х = 2 до точки пересечения с окружностью. Это и есть отрезок длины √5. Все три треугольника — прямоугольные, и все они подобны друг другу.

Теперь я рассматриваю новый отрезок длины а + 1 как диаметр окружности. Делю его пополам (это мы делать умеем) и строю верхнюю полуокружность.

Из точки х = 2 (отделяющей отрезок «а» от отрезка 1) восстанавливаю перпендикуляр. Получаю отрезок с концами на окружности и отрезке.

Теорема: длина полученного отрезка равна √5.

Доказательство. Обозначим за А и В концы диаметра, за М и С — концы проведенного нами перпендикуляра (С ниже, чем М). Треугольник АВМ подобен треугольнику AMС, так как у них острые углы совпадают, а один из углов прямой. (Угол АМВ прямой, как и любой угол, вписанный в полуокружность.) Значит, и третьи углы равны. По той же причине и треугольник АВМ подобен треугольнику МВС. Значит, можно записать отношение катетов малых треугольников

1/х = х/а

(где «x» — длина проведенного нами перпендикуляра); x2 = а, x = √а, что и требовалось доказать.

Теперь мы умеем строить всякие страшные «многоэтажные чемоданы». Любое выражение, которое является результатом конечного числа операций плюс, минус, умножить, делить и взять квадратный корень, можно построить циркулем и линейкой. Например,

Основная теорема о построениях циркулем и линейкой утверждает, что верно и обратное: то есть если какую-то точку удалось построить циркулем и линейкой, то координаты этой точки должны быть получены с помощью конечного числа операций плюс, минус, умножить, разделить и взять корень. Но есть точки на прямой, которые таким образом не выражаются, а значит, и не строятся при помощи циркуля и линейки. Так, число π не является результатом конечного числа таких операций (ни миллиона, ни миллиарда!), и, следовательно, построить его невозможно. Доказательство этого факта придумали только в конце XIX века.

Более чем полвека назад, в начале XIX века придумали доказательство задачи о невозможности трисекции угла с помощью циркуля и линейки. Идея его такая. Если можно разделить любой угол на три части, то мы могли бы построить угол в десять градусов (так как угол в 30 градусов мы построить можем). Но тогда, конечно, мы могли бы построить отрезок, длина которого равна sin 10°.

Рис. 119. sin 10° построить нельзя. Это вам не какой-нибудь sin 72°!

Но доказано, что это число построить нельзя. (Если выразить sin 10° через sin 30°, то получится кубическое уравнение, а для построения его решения необходимо уметь строить кубический корень. К сожалению, с помощью циркуля и линейки этого сделать нельзя.) Мы пришли к противоречию, значит, задачу о трисекции угла решить невозможно.

3. Третья великая задача древности — удвоение куба. Вам дан кубик. Нужно построить кубик вдвое большего объема.

Если у исходного куба сторона равна единице, то какая сторона у удвоенного куба? Объем исходного куба равен 1, значит, у удвоенного он равен 2. По формуле V = а3 получаем, что сторона куба должна быть

. Поэтому задача, на самом деле, очень просто формулируется. Построить корень кубический из двух.

Сделать это циркулем и линейкой невозможно. По тем же соображениям, почему нельзя произвести трисекцию угла. (Как ни странно, число 

циркулем и линейкой построить можно! Угадайте, как?) Лет сто назад еще так мало было известно о числах, что математики не имели ответа на самые очевидные вопросы: например, иррационально ли число ?[28] Приходилось чуть ли не по отдельности перебирать такие числа и разбираться с ними.

Весьма трудным оказалось и число π, потому что до конца XIX века не было понятно, как оно устроено.

4. У четвертой великой проблемы, которая была оставлена древними, особенно интересная судьба. Какие правильные многоугольники строятся циркулем и линейкой? Про нее мы говорили чуть раньше и сейчас еще немного поговорим. Древние умели строить правильные треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и их «производные». Например, десятиугольник или двенадцатиугольник. А вот семнадцатиугольник не умели. Его построил в 1796 году 19-летний (обратите внимание!) Карл Фридрих Гаусс. Процедура достаточно сложная. Не буду скрывать. Некоторый секрет состоит в том, что построение нельзя придумать, не зная, что такое комплексные числа. Комплексные числа — это такая волшебная палочка. У шаманов есть бубны, а у математиков — комплексные числа. Это такая числовая структура, которая помогает на ура решать задачи, кажущиеся нерешаемыми. Ну, при чем здесь комплексные числа, когда мы говорим о семнадцатиугольнике? Тем не менее семнадцатиугольник строится только с применением комплексных чисел. Впоследствии (в 1836 г.) Пьер-Лоран Ванцель выявил критерий возможности построения правильного многоугольника. Оказывается, строятся только такие правильные p-угольники (где p — простое число, то есть