Путешествие по Карликании и Аль-Джебре - Владимир Артурович Левшин
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Мы подумали, что пружинки в разных сосудах прижимают донышко с разной силой.
— Ничего подобного, — возразил директор, — пружинки всюду совершенно одинаковые.
— Как же так? — удивились мы. — Ведь сосуды вмещают разное количество жидкости. Чем больше налито кофе, тем больше будет его давление на дно?
— В том-то и суть закона Паскаля, что давление на дно не зависит от количества жидкости в сосуде! — воскликнул Пэ. — Оно зависит лишь от высоты сосуда.
— Проверим! — сказал Сева и решительно направился к самому большому сосуду. Он уже собирался нажать кнопку, чтобы налить себе кофе, но директор его остановил:
— Как? Вы хотите выпить сразу два литра? Но ведь это же очень вредно! Из этого сосуда мы отпускаем кофе на дом многосемейным. Прошу вас за столик. Сейчас я подам вам по чашечке кофе и большую вазу с треугольниками. Они тоже приготовлены по рецепту Паскаля.
Вот не думал, что можно питаться треугольниками! При слове «треугольник» мне сейчас же вспоминаются папины чертёжные принадлежности.
Слава богу, треугольники в кафе «Абракадабра» вовсе не пластмассовые, а вафельные. И с самой разной начинкой: шоколадные, фруктовые, сливочные, ореховые, миндальные. Мы перепробовали все, какие были, и так увлеклись, что не заметили, как кафе заполнилось публикой. Скоро все столики были заняты. К этому времени у нас оставалось всего-навсего три вафли. Все взяли по одной и хотели уже прикончить, но нас остановила Таня.
— Смотрите, — сказала она, — на моём треугольнике какая-то надпись.
Тогда и мы посмотрели и увидели, что на вафлях написано: «Треугольник Паскаля».
— Что-то вроде штампа фабрики, — сообразил Сева. — Как у нас «Красный Октябрь» или «Фабрика имени Бабаева».
— А это тоже фабрика Бабаева?
Таня перевернула треугольник другой стороной. Там были выпуклые числа. Мы сличили свои вафли; числа на всех были одинаковые.
Сначала нам показалось, что они расположены беспорядочно. Только слева и справа в каждом ряду обязательно стоит единица. Приглядевшись, мы увидели, что числа определённым образом чередуются. Вот, например, в пятом ряду: 1, 4, 6, 4, 1. В седьмом: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Мы заметили также, что если спускаться по левой стороне треугольника, в первом наклонном столбце написаны единицы, во втором — натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… Дальше числа стоят вразброд: 1, 3, 6, 10, 15, 21… А потом и того хуже: 1, 4, 10, 20, 35, 56…
— Одним словом, абракадабра! — проворчал Сева.
— Напрасно думаете, — заметила наша соседка, латинская буква Эс. — В этих числах есть определённый порядок, и разобраться в нём вовсе не трудно.
— Ну, где тут порядок? Где? — горячился Сева.
— Немножко наблюдательности — и вы перестанете спорить. Заметьте, что любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, стоящих над ним.
— Правда! — сказала Таня, — Число 28 из девятого ряда равно сумме семи и двадцати одного, которые стоят над ним.
— А 126 из десятого ряда равно сумме семидесяти и пятидесяти шести, — сосчитал Сева.
— Вот видите! Никогда не торопитесь с выводами, — сказала Эс. — Часто то, что кажется неразберихой, на самом деле имеет строгий порядок. Надо только его обнаружить. В том-то и задача каждого учёного.
— До чего интересный треугольник придумал Паскаль! — вздохнула Таня.
— О, в этом треугольнике ещё много замечательного. Сложите числа каждого ряда. В первом ряду так и будет единица. Во втором?
— Два.
— В третьем?
— Четыре. В четвёртом — восемь, в пятом — шестнадцать, затем — тридцать два, шестьдесят четыре…
Слушайте! — закричал я. — Ведь это же разные степени числа два:
20 = 1;
21 = 2;
22 = 4;
23 = 8;
24 = 16;
25 = 32.
Мне показалось, что Эс посмотрела на меня одобрительно.
— Не кажется ли вам, — сказала она, — что все эти степени можно записать одним алгебраическим выражением: 2n-1 — два в степени эн минус единица?
— Почему же не просто два в степени эн?
— Оттого, что эн обозначает порядковый номер строки, а показатель степени здесь всегда на единицу меньше порядкового номера. В первой строке — нуль, во второй — единица, в третьей — два, и так далее.
— Ага! — догадалась Таня. — Выходит, сумма чисел, стоящих в десятой строке, будет равна двум в девятой степени, что можно изобразить так: два в степени десять минус единица: 210-1.
— Или два в степени эн минус единица, — победоносно закончил Сева.
— Очень приятно, что вы это поняли, — обрадовалась Эс.
Но Сева сейчас же доказал, что радоваться рано.
— Жаль, что такое удивительное изобретение используется только для приготовления вафель, — заявил он.
Эс даже поперхнулась.
— Что вы такое говорите! Треугольник Паскаля широко применяется в Аль-Джебре. Он блестяще используется при возведении в степень двучленов. Кстати, этим вопросом занимался не только Паскаль, но и его великий современник, сэр Исаак Ньютон. С его формулой, известной под названием бинома Ньютона, вы познакомитесь несколько позже. Каждому овощу своё время…
— А! Ньютон! — небрежно отмахнулся Сева. — Это тот самый, который подошёл к нам вместе с Лейбницем на Дороге Светлого Разума. Они там вдвоём что-то такое открыли, а потом разбирались, кто из них первый…
— Это «что-то такое» было началом высшей математики. И называется оно анализом бесконечно малых и бесконечно больших величин.
И Эс, сухо попрощавшись, удалилась.
Сева так смутился, что нам его жалко стало.
Но не прошло и пяти минут, как он уже составлял какие-то новые треугольники, которые решил, конечно, назвать своим именем. Вот один из них. Покажи его своим ученикам. Может быть, вы наведёте в нём порядок.
Будь здоров.
Олег
Да! Совсем забыл ответить на твой вопрос. Ты хочешь знать, почему а + b — с называется суммой.
Дело в том, что знаки плюс и минус, обозначающие положительные и отрицательные числа, в то же время обозначают сложение и вычитание.
Что значит, например,
