Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Рис. 5.3. Два разных взгляда на эффект налоговых льгот
А вот еще один классический пример недобросовестного использования столбчатых диаграмм:
Рис. 5.4. Обманчивая диаграмма объема продаж компаний
Этот график должен продемонстрировать превосходство компании C над компаниями B и А. Но для представления данных важна только высота столбца. Однако из-за пропорционального увеличения ширины столбцов достижения компании оказываются сильнейшим образом преувеличенными. Хотя объем продаж компании C в пять раз больше, чем у компании А, столбец компании А занимает в 25 раз меньше места, чем столбец компании С.
Можно сказать, что у диаграммы-розы Флоренс Найтингейл были некоторые упущенные возможности. Найтингейл построила ее так, чтобы площадь розы соответствовала числам. Однако, поскольку площадь лепестков растет во всех направлениях, впечатление от их величины оказалось ослабленным. Выбери она не розу, а столбчатую диаграмму, высота столбцов, соответствующих синим участкам, выделялась бы на фоне остальных еще ярче.
Картография
Вероятно, идеальный пример шортката через диаграмму – это карта. Это не копия территории, которую она изображает. Начнем с того, что весь смысл картографии состоит в уменьшенном изображении местности. Но даже с учетом этого многие характеристики приходится отбрасывать. Но, если составить качественную карту, которая включает в себя избранные существенные элементы и отбрасывает все ненужное, получается великолепный шорткат к ориентированию.
Мне всегда нравилась история из последней книги Льюиса Кэрролла – «Сильвия и Бруно. Окончание истории» (Sylvie and Bruno Concluded, 1893). Речь там идет о стране, в которой не понимали, насколько важно отбрасывать информацию при составлении карт. Местные жители гордились точностью своих карт:
– Мы создали такую карту нашей страны, масштаб которой равняется миля на милю!
– И часто вы ею пользуетесь? – спросил я.
– Ее еще ни разу не расстилали. Крестьяне были недовольны. Они сказали, что, если такую карту расстелить на всю страну, она скроет солнечный свет! Так что пока мы используем саму страну как ее карту, и смело могу вас заверить, действует она преотлично[71].
В этом шутливом диалоге Кэрролл показывает, что при создании карт приходится выбирать, чего именно в них включать не следует.
Некоторые из самых первых карт, созданных людьми, были картами не Земли, а неба. В пещере Ласко на юго-западе Франции есть изображение Плеяд – звезд, которые часто использовались в качестве знака начала нового годового цикла. Одна из первых карт Земли – это глиняная табличка, созданная каким-то вавилонским писцом, возможно, еще за 2500 лет до нашей эры. На ней изображена речная долина между двумя холмами. Холмы обозначены полукружьями, реки – линиями, города – кружками. Кроме того, на карте указано, как ее следует ориентировать.
Вавилоняне же первыми предприняли попытку создать карту всего мира; это было за 600 лет до нашей эры. Эта карта – изображение скорее символическое, чем буквальное. На ней представлена округлая суша, окруженная водой, что соответствовало представлению вавилонян о конфигурации мира.
Но, когда было установлено, что Земля имеет форму не плоскую, а сферическую, создание двумерных карт сферической поверхности стало для картографов интересной, но трудной задачей. Принято считать, что хитроумное решение этой задачи нашел фламандский картограф XVI века Герард Меркатор.
Поскольку дело было в эпоху морских экспедиций, исследовавших нашу планету, главной целью Меркатора было создать карту, которая поможет мореплавателям попадать из одной точки планеты в другую. Главным навигационным прибором был компас. Самым простым способом добраться из точки А в точку Б было выбрать такое постоянное направление по компасу, чтобы корабль, следующий в этом направлении, приходил в нужную точку.
Такие линии наклонены под постоянным углом к меридианам, проходящим с севера на юг. Они называются локсодромами[72]; если такую линию начертить на глобусе, можно увидеть, что она образует спираль, сходящуюся к Северному полюсу[73].
Это не самый короткий путь из А в Б, но тем, кого больше беспокоит опасность сбиться с курса, такой путь подходит лучше всего.
Карта Меркатора обладает тем чудесным свойством, что эти криволинейные маршруты превращаются на ней в прямые линии. Если вам нужно найти правильный угол для курса из точки А в точку Б, достаточно провести прямую между этими двумя точками на карте Меркатора, и угол, под которым она будет наклонена к меридианам, идущим на север, будет тем углом, курс на который вам нужно держать при переходе через океан.
Рис. 5.5. Локсодрома идет под постоянным углом к меридианам
Такая проекция сферы на прямоугольник называется конформным отображением, потому что она сохраняет углы. Добиться этого можно следующим образом. Представим себе, что Земля – это воздушный шарик, вся поверхность которого покрыта невысохшими чернилами. Обернем вокруг Земли цилиндр так, чтобы он прикасался к экватору. Теперь начнем надувать Землю так, чтобы по мере раздувания шарика ее поверхность постепенно приходила в соприкосновение с цилиндром, а чернила отпечатывали на нем карту.
Развернем цилиндр – и у нас получится карта. Таким способом невозможно изобразить на карте полюса, так что на верхнем крае карты оказывается параллель, близкая к полюсу[74]. Такая карта все сильнее растягивает параллели по мере продвижения на север или на юг от экватора. Для тех, кто был в море, она была великолепным инструментом, к чему, видимо, и стремился Меркатор, ибо он дал своей карте следующее название: «Новое и более полное описание земного шара, должным образом приспособленное для использования в навигации» (Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata, 1569).
Хотя на этой карте сохраняются углы между линиями, проведенными на глобусе, этого не происходит с площадями
