По следам сенсаций - Лев Бобров

Правда, у читателя может возникнуть вопрос: кому нужна вся эта казуистика? Да и нужна ли она вообще?

Приведённые смысловые нелепости не просто забавные трюки логики. Не раз парадоксы были связаны с перестройкой основ мышления.

Особенно поучительна эпопея знаменитых апорий (парадоксов) Зенона, которые двадцать пять, столетий назад оказались самой настоящей сенсацией. Впрочем, не просто сенсацией, которая ненадолго травмирует психику обывателя, а потом бесследно улетучивается из головы. Они оказали заметное влияние на прогресс математики. И до сих пор не сходят со страниц серьёзнейших математических, логических, философских работ, где учёные ломают копья и головы: преодолены или нет трудности, порождённые этими ужасными апориями?

…Кто из читавших гомеровскую «Илиаду» не помнит сцену погони грозного Ахилла за «шлемоблещущим», но порядком струхнувшим Гектором?

Сильный бежал впереди, но преследовал много сильнейший.„

Правда, гонка вокруг Трои всё-таки закончилась поражением Гектора. Но не в беге! В смертельной схватке. А перед поединком Ахиллу пришлось остановиться, так и не догнав врага. Что ж, супостат был ловок и быстроног. А если бы он был неуклюж и тихоходен?.

Да, грациозен и быстроног могучий Ахилл, сын Пелея, герой Троянской войны, воспетый Гомером. И как неуклюжа, как тихоходна черепаха, повсюду слывущая эталоном медлительности и нерасторопности! Ей ли тягаться в скорости с легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллу ни за что не догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что когда преследующий достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути Ахиллу снова придётся догонять черепаху. Но пока преследователь добежит до этого второго пункта, беглянка снова переместится вперёд. И так далее до бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллу удастся обогнать черепаху?

С другой стороны, из собственного повседневного опыта каждый школьник знает, что он, отнюдь не будучи Ахиллом, способен запросто обогнать не только черепаху, но, чего доброго, и самого учителя — стоит только прозвучать звонку, возвещающему конец урока.

А нет ли «ахиллесовой пяты» у самих рассуждений Зенона?

В классическом курсе логики, написанном Минто, прославленный бегун легко опережает свою недостойную соперницу, хотя даёт ей фору не только в расстоянии — 100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную силу — всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела переползти ещё на 10 саженей вперёд. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей, черепаха уйдёт ещё на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится — пусть на одну десятую сажени, но всё-таки вперёд, прочь от преследователя! С каждым шагом расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное множество. Не беда: современная математика научилась суммировать бесконечные последовательности. И Минто строит бесконечный ряд:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +…

Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Её сумму запросто подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошёл алгебру по учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 1111/9. Проделав, нехитрый подсчёт, Минто заключает: «Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет её между 111-й и 112-й саженями на их пути».

Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не ответил посрамлённому софисту, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как возможна подобная встреча…

Пусть читатель сам рассудит античного мудреца и его оппонента.

Чтобы получить в ответе 1111/9 сажени, вовсе не обязательно прибегать к суммированию бесконечного ряда. Можно решить задачу обычным алгебраическим путём, приняв за неизвестное путь, который проползёт до момента «рандеву» пресмыкающаяся красавица, кокетливо убегающая от своего самоуверенного преследователя.

Уж коли у нас объявилось неизвестное, быть ему иксом — х. Тогда путь, промаршированный Ахиллом, окажется больше дистанции, разделявшей бегунов во время старта, на отрезок, покрытый черепахой до встречи с Ахиллом: 100 + х Теперь вникните: время движения от старта до встречи у обоих бегунов одно и то же. А скорость у Ахилла в десять раз выше. Значит, путь, проделанный Ахиллом, будет тоже в десять раз больше, чем черепаший (х). Составляем уравнение: (100 + х): х = 10. Подсчитайте: х = 111/9. Столько саженей проползла черепаха. А Ахилл? 100+ х = 1111/9.

Трудно поверить, чтобы Зенон не сумел найти искомый отрезок пути подобными элементарными средствами. Ещё труднее представить, что Зенон никогда никого не перегонял или не видел, как это делают другие. Нет, не зря античный мыслитель формулирует задачу так, что в ней появляется понятие о бесконечном ряде! Его не мучает сомнение: может ли тело проделать путь, составленный из кусочков? Мыслитель смущён другим: как возможен последовательный синтез бесчисленного множества отрезков, если он будет длиться вечно, так и не достигнув предела?

Не достигнув? А точка, отстоящая от старта на 1111/9 сажени, — не есть ли это тот самый предел? Есть. Тот самый! Но разве вопрос сводился к тому, каков он? Нет! К тому, как переменная (в данном случае сумма ряда) достигает своего предела. И достигает ли вообще?

Мы назвали сумму переменной величиной. Так оно и есть. Вспомните ряд, составленный Минто: 100+10+1+0,1+0,01 + + 0,00,1. Покуда он содержит шесть членов. Их сумма равна 111,111. Это число меньше, чем 1111/9. Правда, чуть-чуть, но всё-таки меньше! Разница станет ещё меньше, если мы присовокупим к последовательности ещё один член, седьмой: 100 + 10 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. Сумма изменилась, теперь она равна 111,1111. Семь членов — семь знаков в числе — единичек, заметили? Если членов будет восемь, сумма опять удлинится на единичку: 111,11111. И так далее. Но возьмёте ли вы сто, тысячу, миллиард миллиардов членов, всё равно ваше число с колоссальным по длине хвостом из единиц будет меньше 1111/9. Сумма изменяется, растёт, но не достигает предела. И всё-таки мы умеем подсчитать предел, к которому она стремится.

Делается это так. Берётся формула для суммы конечного (подчёркиваем: не бесконечного!) количества членов. Она легко выводится — загляните в школьный учебник алгебры. Давайте подставим в неё характеристики нашей геометрической прогрессии. Первый член у нас 100. А знаменатель прогрессии — одна десятая (0,1) — ведь у нас каждый следующий член меньше предыдущего в десять раз. Предположим, мы хотим подсчитать сумму для 777 членов. Получим:

100/(1–0,1) [1 — (0.1)777+1].

Нетрудно видеть, что число перед квадратными скобками равно 1111/9. А содержимое квадратных скобок? Чуть меньше единицы. И оно будет тем ближе к единице, чем больше показатель степени у дроби 0,1, заключённой в круглые скобки. Но приглядитесь к показателю степени — это же число членов ряда плюс единичка!

А теперь начинается самое интересное. Мы переходим от конечного числа членов к бесконечному. Показатель степени при (0,1) неограниченно возрастает. Что же происходит с самой степенью — с одной десятой, умноженной на себя столь многократно, что и вообразить невозможно? Она становится бесконечно малой величиной, стремящейся к нулю. А раз так, то, как написано в вашем учебнике, мы вправе её попросту отбросить, приравняв к нулю. В квадратных скобках остаётся единица. Стало быть, искомый предел равен 1111/9.

Но послушаем, что говорит по этому поводу математика (устами академика А. А. Маркова): «Важно заметить, что к совокупности значений бесконечно малой мы не причисляем её предела 0». А французский математик Мансион выражается ещё недвусмысленней: «Пределом переменной мы называем постоянную величину, к которой переменная неопределённо приближается, никогда её не достигая». Но то же самое говорил и Зенон, облекая разве что абстрактные математические символы в яркие образы, навеянные прекрасными античными мифами! Как бы далеко мы ни шли в последовательной интеграции укорачивающихся «движеньиц» Ахилла, мы никогда не получим целиком его пути до встречи с черепахой! Как сказано у Гомера («Илиада» в переводе Гнедича):

Сей убежать, а другой уловитьнапрягается тщетно,Так и герои, ни сей не догонит, нитот не уходит…

Подмеченные Зеноном трудности в строгом истолковании понятий «предел» и «непрерывность» можно проиллюстрировать и на более простом примере.