Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Если хочешь разобраться в настоящем, следует прежде всего заглянуть в прошлое! Обратившись к прошлому, математики, чье восприятие обострилось в результате последних открытий, наконец увидели то, что ускользало от их предшественников или мимо чего те равнодушно проходили в своем безудержном стремлении постичь истину. Разумеется, математики отнюдь не собирались безропотно отказываться от своей науки. Помимо того что математические методы продолжали оставаться весьма эффективным инструментом естественнонаучного исследования, математика сама по себе превратилась в область знания, которую многие математики вслед за Платоном считали особой «внечувственной реальностью».{60} Естественно, математики сочли, что им под силу по крайней мере пересмотреть логическую структуру математики и восполнить пробелы в ней или изменить те ее области, где обнаружатся изъяны.

Как нам уже известно, родоначальниками дедуктивной математики были древние греки и первым, казалось бы, совершенным математическим построением стали «Начала» Евклида. Начав с определений и аксиом, Евклид далее переходил к доказательству теорем. Повторим, однако, некоторые из определений Евклида:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же — длина без ширины.

3. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней. ([25], кн. I-VI, с. 11.)

Аристотель учил, что определение должно описывать определяемое понятие через другие, уже известные понятия. А так как с чего-то необходимо начать, утверждал Аристотель, то в качестве исходных необходимо принять какие-то неопределяемые понятия. Хотя, судя по многим данным, Евклид, живший и работавший в Александрии примерно в III в. до н.э., хорошо знал о работах греческих авторов классической эпохи, в частности Аристотеля, он тем не менее дал определение всем геометрическим понятиям.

Этот просчет Евклида принято объяснять двумя причинами. Либо Евклид был не согласен с Аристотелем в том, что исходные понятия должны быть неопределяемыми, либо, как утверждают некоторые защитники Евклида, он сознавал необходимость неопределяемых понятий, но своими первыми определениями намеревался дать лишь интуитивное представление о смысле определяемых понятий, позволяющее понять последующие аксиомы. Но если справедливо последнее, то в таком случае Евклид вряд ли стал бы включать определения в основной текст «Начал». Каковы бы ни были намерения самого Евклида, никто из математиков, следовавших дедуктивному методу Евклида на протяжении двух тысячелетий, не отметил необходимость неопределяемых понятий. На необходимость таких понятий обратил внимание в своем «Трактате о геометрическом духе» (1658) Паскаль, но это его напоминание просто не было никем замечено.

А как обстояло дело с аксиомами Евклида? Следуя, по-видимому, Аристотелю, Евклид сформулировал ряд общих понятий, применимых к любому рассуждению, и пять постулатов, применимых только к геометрии. Одно из общих понятий гласило: «И если к равным [вещам] прибавляются равные, то и целые будут равны» ([25], кн. I-VI, с. 15). Под словом «вещи» Евклид понимал длины, площади, объемы и целые числа. Разумеется, это слово допускает весьма широкое толкование. Но еще в большей степени может вводить в заблуждение общее утверждение, что фигуры, совпадающие при наложении, равны. С помощью этой аксиомы Евклид доказывал конгруэнтность двух треугольников, налагая один треугольник на другой и выводя из известных геометрических фактов заключение о равенстве углов. Но чтобы наложить один треугольник на другой, его необходимо передвинуть. Евклид предполагал, что перемещение не сказывается на свойствах треугольника. Таким образом, общее понятие, задающее «принцип наложения», по существу, выражает однородность пространства, т.е. независимость свойств геометрических фигур от их расположения в пространстве. Такого рода допущение вполне разумно, но все же является дополнительным допущением: определения в евклидовых «Началах» не затрагивают понятия движения.{61}

В своих доказательствах Евклид нередко прибегал к аксиомам, явно им не сформулированным. Еще Гаусс обратил внимание на то, что Евклид говорит о точках, лежащих между другими точками, и о прямых, лежащих между другими прямыми, ни словом не обмолвившись о понятии «лежать между» и его свойствах. По-видимому, Евклид мысленно представлял геометрические фигуры и использовал в доказательствах теорем свойства реальных фигур, не отраженные в аксиомах. Наглядные геометрические представления могут оказаться весьма полезными и при доказательстве, и при запоминании теоремы, но роль их должна быть лишь вспомогательной. Лейбниц обратил внимание еще на одну аксиому, неявно использованную Евклидом, — аксиому о так называемой непрерывности. Действительно, Евклид широко пользовался тем, что прямая, соединяющая точку A, расположенную по одну сторону от l (рис. 5.1), с точкой B, расположенной по другую сторону от прямой l, имеет с l общую точку. Существование общей точки очевидно из чертежа — однако ни одна аксиома о прямых не гарантирует, что такая общая точка действительно имеется. Впрочем, можно ли говорить, что точки «находятся по разные стороны от прямой»? Подобное словоупотребление также основывается на неявно подразумеваемой, но неформулируемой аксиоме.

Рис. 5.1. Аксиома, которую не сформулировал Евклид.

Помимо различного рода изъянов и недостатков в определениях и аксиомах «Начала» Евклида содержали также много неадекватных доказательств. Доказательства одних теорем были ошибочными; доказательства других охватывали лишь частный случай утверждения теоремы или конфигурации, о которой в ней говорилось. Такого рода недостатки не столь серьезны, так как их легче исправить. Евклид умышленно проводил правильные доказательства для фигур, весьма отдаленно напоминающих изображаемые. Но если судить о «Началах» в целом, то с полным основанием можно сказать, что в ряде случаев доказательства Евклида, касающиеся легко воспроизводимых на чертежах фигур, имели дефекты. Короче говоря, логика в «Началах» Евклида оставляла желать лучшего.

Несмотря на все недостатки евклидовых «Начал», лучшие математики, естествоиспытатели и философы примерно до конца XVIII в. видели в них идеал математической строгости. Паскаль в своих «Мыслях» выразил это всеобщее восхищение так: «Геометрический дух во всем превосходит те предметы, которые поддаются законченному анализу. Он начинает с аксиом и выводит заключения, истинность которых может быть доказана с помощью универсальных логических правил». Учитель и предшественник Ньютона по кафедре в Кембриджском университете Исаак Барроу перечислил восемь причин непогрешимости геометрии: ясность геометрических понятий; однозначность определений; наша интуитивная уверенность в универсальной истинности общих геометрических понятий; правдоподобность и наглядность геометрических постулатов; малочисленность геометрических аксиом; ясное понимание способа получения всех величин; четкая последовательность доказательств; отказ от использования всего неизвестного. Такого рода признания достоинств геометрии можно было бы продолжить. В 1873 г. известный специалист по теории чисел Генри Джон Стивен Смит сказал: «Геометрия обратилась бы в ничто, если бы не ее строгость… Почти всеми признано, что методы Евклида безупречны с точки зрения строгости».

Тем не менее, работая над созданием неевклидовой геометрии, математики обнаружили в евклидовой схеме построения геометрии столь большое число дефектов, что восхищаться ее совершенством было уже невозможно. Неевклидова геометрия стала тем рифом, о который разбилась геометрия Евклида. То, что ранее казалось надежной твердью, в действительности оказалось предательской топью.

Разумеется, евклидова геометрия составляет лишь часть математики. С начала XVIII в. гораздо более обширной стала часть математики, посвященная свойствам чисел. Но как же развивалось логическое понятие числа?

В Древнем Египте и Вавилоне уже были хорошо знакомы с целыми числами, дробями и даже с такими иррациональными числами, как √2 или √3. Для практических приложений иррациональные числа аппроксимировали рациональными. Но поскольку математика в Древнем Египте, Вавилоне и даже вплоть до IV в. до н.э. в Древней Греции строилась на интуитивной или эмпирической основе, как восхищение ее логической структурой, так и ее критика были в равной степени беспредметны.

Первое известное нам логически последовательное изложение теории целых чисел содержится в VII, VIII и IX книгах «Начал» Евклида. В них Евклид предлагает, например, такие определения: «Единица есть [то], через что каждое из существующих считается единым; число же — множество, составленное из единиц» ([25], кн. VII-X, с. 9). Ясно, что подобные определения мало что говорят — в их формулировках отражается тот факт, что как в арифметике Евклида, так и в его геометрии проявляется непонимание необходимости неопределяемых понятий. При выводе свойств целых чисел Евклид использует уже упоминавшиеся общие понятия. К сожалению, некоторые из приведенных им доказательств ошибочны. Тем не менее древние греки и их преемники считали, что теория целых чисел обоснована вполне удовлетворительно. Более того, они, не церемонясь, позволяли себе говорить об отношениях целых чисел (у последующих поколений математиков такие отношения получили название дробей), хотя отношения целых чисел не были ими никак определены.