7. Физика сплошных сред - Ричард Фейнман

СXB=0, (36.16)

СXH=jпров/e0c2, (36.17)

H=B-M/e0c2. (36.18)

Предположим, что у нас есть железный тор с намотанной на него медной проволокой, как это показано на фиг. 36.7, а.

Фиг. 36.7. Железный тор, обмотанный витками изолированного провода (а), и его поперечное сечение (б). Показаны силовые линии.

Пусть по проводу течет ток I. Каково при этом магнитное поле? Оно будет сосредоточено главным образом внутри железа, причем там (см. фиг. 36.7, б) силовые линии должны быть круговыми. Вследствие постоянства потока В его дивергенция равна нулю, и уравнение (36.16) удовлетворяется автоматически. Запишем затем уравнение (36.17) в другой форме, проинтегрировав его по замкнутому контуру Г, показанному на фиг. 36.7, б. Из теоремы Стокса мы получаем

где интеграл от j берется по поверхности S, ограниченной кон­туром Г. Каждый виток обмотки пересекает эту поверхность один раз, поэтому каждый виток дает в интеграл вклад, равный I, а пос­кольку всего витков N штук, то интеграл будет равен NI. Из симметрии нашей задачи видно, что В одинаково на всем контуре Г, если, конечно, намагниченность, а следовательно, и поле Н тоже постоянны на контуре Г. Уравнение (36.19) при таких условиях принимает вид

где l—длина кривой Г. Таким образом,

Именно из-за того что в задачах подобного типа поле Н прямо пропорционально намагничивающему току, оно иногда назы­вается намагничивающим.

Единственное, что нам теперь требуется,— это уравнение, связывающее Н с В. Однако такого уравнения просто не суще­ствует! У нас есть, конечно, уравнение (36.18), но от него мало проку, ибо в ферромагнитных материалах типа железа оно не дает прямой связи между М и В. Намагниченность М зависит от всей предыдущей истории данного образца железа, а не толь­ко от того, каково поле В в данный момент и как оно изменялось раньше.

Впрочем, еще не все потеряно. В некоторых простых слу­чаях мы все же можем найти решение. Если взять ненамагни­ченное железо, скажем, отожженное при высокой температуре, то для такого простого тела, как тор, магнитная предыстория всего железа будет одной и той же. Затем из экспериментальных измерений мы можем кое-что сказать относительно М, а следо­вательно, и о связи между В и Н. Из уравнения (36.20) видно, что поле В внутри тора равно произведению некоторой посто­янной на величину тока в обмотке I. А поле В можно измерить интегрированием по времени э.д.с. в намагничивающей обмотке, изображенной на рисунке (или в дополнительной обмотке, на­мотанной поверх нее). Эта э.д.с. равна скорости изменения по­тока В, так что интеграл от э.д.с. по времени равен произведе­нию В на площадь поперечного сечения тора.

На фиг. 36.8 показано соотношение между В и Н, наблюда­емое в сердечнике из мягкого железа.

Фиг. 36.8. Типичная кривая намагничивания и петля гис­терезиса мягкого железа.

Когда ток включается в первый раз, увеличение В с Н происходит по кривой а. Обра­тите внимание на различие масштабов по осям В и Н; вначале, чтобы получить большое В, необходимо относительно малое Н. Почему же в случае железа поле В намного больше, чем было бы без него? Да потому, что возникает большая намагниченность М, эквивалентная большому поверхностному току в железе, а поле определяется суммой этого тока и тока проводимости в обмотке. А почему намагниченность М оказывается такой боль­шой, мы обсудим позднее.

При больших значениях Н кривая намагничивания «вырав­нивается». Мы говорим, что железо насыщается. В масштабах нашей фигуры кривая становится горизонталь­ной, на самом же деле намагниченность продол­жает слабо расти: для больших полей В становит­ся равным Н и намагни­ченность М уже не увели­чивается. Кстати, если бы сердечник был сделан из немагнитного материала, то намагниченность М была бы равна нулю, а В было бы равно для всех полей Н.

Прежде всего заметим, что кривая а на фиг. 36.8, так назы­ваемая кривая намагничивания,— в высшей степени нелинейна. Впрочем, положение здесь гораздо сложнее. Если после до­стижения насыщения мы уменьшим ток в катушке и вернем Н снова к нулю, магнитное поле В будет падать по кривой b. Когда Н достигнет нуля, В еще не будет нулем. Даже после выключения намагничивающего тока магнитное поле в железе остается: железо становится постоянно намагниченным. Если теперь включить в катушке ток в обратном направлении, то кривая В—Н пойдет дальше по ветви b до тех пор, пока же­лезо не намагнитится до насыщения в противоположном нап­равлении. При дальнейшем уменьшении тока до нуля В пойдет по кривой с. Когда мы меняем ток от большой положительной до большой отрицательной величины, кривая В—Н будет идти вверх и вниз очень близко к ветвям b и c. Если же, однако, Н менять каким-то произвольным образом, то возникнут более сложные кривые, которые, вообще говоря, будут лежать между кривыми b и c. Кривая, полученная повторными изменениями полей, называется петлей гистерезиса.

Вы видите, что невозможно написать функциональное со­отношение типа В=f(Н), так как В в любой момент зависит не только от Н в тот же момент, но и от всей предыстории мате­риала. Естественно, что намагниченность и петли гистерезиса для разных веществ различны. Форма кривых критически зави­сит от химического состава материала, а также от деталей тех­нологии его приготовления и последующей физической обра­ботки. В следующей главе мы обсудим физическое объяснение некоторых из этих сложностей.

§ 4. Индуктивность с железным сердечником

Одно из наиболее важных применений магнитные материа­лы находят в электрических устройствах, например трансфор­маторах, электрических моторах и т. п. Объясняется это преж­де всего тем, что с помощью железа можно контролировать по­ведение магнитного поля, а также при данном электрическом токе получать значительно большие поля. Например, типичное «тороидальное» индуктивное устройство во многом напоминает то, что изображено на фиг. 36.7. При большой индуктивности мы можем сделать устройство гораздо меньшего объема и затратить намного меньше меди, чем в эквивалентном устройстве с «воз­душным сердечником». Поэтому при большой индуктивности мы добиваемся гораздо меньшего сопротивления обмотки, так что устройство более близко к «идеальному», особенно при низ­ких частотах. Нетрудно качественно проследить, как работает такое устройство. Если в обмотке течет ток I, то создаваемое внутри поле Н, как это видно из уравнения (36.20), пропор­ционально току I. Напряжение V на выводах связано с магнит­ным полем В. Если пренебречь сопротивлением обмотки, то напряжение V будет пропорционально dB/dt. Индуктивность L, которая равна отношению V к dI/dt (см. гл. 17, § 7, вып. 6), зависит, таким образом, от связи между В и Н в железе. По­скольку В гораздо больше Н, то это во много раз увеличивает индуктивность, как будто малый ток в катушке, который обыч­но дает слабое магнитное поле, заставляет выстраиваться маленькие магнитики, сидящие в железе, и создает «магнитный» ток, который в огромное число раз больше внешнего тока в обмотке. Все происходит так, как будто в катушке возникает ток, намного больший, чем на самом деле. Когда мы меняем направление тока, все маленькие магнитики переворачиваются, внутренние токи потекут в другом направлении и наведенная э.д.с. получается гораздо больше, чем без железа. Если мы хо­тим вычислить индуктивность, то это можно сделать, вычисляя энергию наподобие того, как описано в гл. 17, § 8. Скорость, с которой энергия отдается источником тока, равна IV. Напря­жение V равно площади поперечного сечения сердечника А, умноженной на N и на dB/dt. А согласно выражению (36.20), I=(e0c2l/N)H. Таким образом,

Интегрируя по времени, получаем

Заметьте, что 1А равно объему тора, поэтому плотность энергии и=U/(Объем магнитного материала), как мы показали, равна