Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Что получается? 1 + 2 + 3 + 4 + … + m.
Нужно посчитать такую сумму. Вот оно, треугольное число. Как посчитать такую сумму? Есть знаменитая история про то, как Гаусс быстро в уме подсчитал сумму первых подряд идущих ста чисел. (Но это, мне кажется, байка.) Маленький Гаусс учился в школе в 3-м классе. В школе к учителю или к учительнице пришел знакомый. Учительница решила дать задачу такую, чтобы дети занялись на весь урок. «Дети, а теперь посчитайте 1 + 2 + 3+ и так далее до 100». И ушла довольная. Выбегает маленький Гаусс через 5 минут, говорит: «Я посчитал: 5050».
«А как ты посчитал? А ты можешь доказать?» — «Ну конечно, могу. Смотрите. Я пишу две строки:
1 + 2 + 3 + … + 100,
100 + … + 3 + 2 + 1.
По-другому просто перенумеровал. Сумма внизу та же самая будет. Пусть она равна x. И сверху х и снизу х.
1 + 2 + 3 + … + 100 = x,
100 +… + 3 + 2 + 1 = x».
Давайте теперь сложим строчки по столбикам: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, …
Слушатель: Всегда получится 101.
А.С.: Конечно. А сколько штук?
Слушатель: 100.
А.С.: 100. Значит, удвоенное значение нашего выражения равно 50 умножить на 100. Откуда после сокращения на 2, естественно, и получается х равно 50 умножить на 101.
2х = 10100,
отсюда
x = 5050.
Вот Гаусс и сказал 5050. И был совершенно прав, ничего не считая. Математика — это искусство лени. Математик — это тот, кто никогда не будет делать рутинных действий, он всегда придумает что-то машинное. Вот вы познали какой-то рутинный метод. Всё. Вы теперь на нём не зацикливаетесь, на нём будет зацикливаться компьютер. Компьютер ничего не выдумает, а математик, он свалит на компьютер всю рутину и найдет закономерность. В Брауншвейге Гауссу стоит памятник: бронзовый 17-угольник, на котором стоит математик. А почему он стоит на 17-угольнике? Потому что Гаусс придумал, как строить правильный 17-угольник циркулем и линейкой. «Правильный» — значит с равными сторонами и углами.
До него эту задачу не могли решить. Можно построить правильный треугольник, 4-угольник. На самом деле, если вы умеете строить многоугольник с простыми сторонами, то остальное легко. То есть надо строить: правильный треугольник, 5-угольник, 7-угольник. А 7-угольник никто строить не умеет. Все мучились и думали: «Что ж такое? Какие-то мы глупые, наверное. Почему мы не можем построить правильный 7-угольник циркулем и линейкой?»
А потом уже после Гаусса пришел Ванцель и сказал: «Это невозможно. Математически невозможно». И доказал это. Так же, как нельзя построить правильный 11- и 13-угольник. Помните, я рассказывал про теорему Галуа? Про то, что для уравнения выше 4-й степени нельзя написать общую формулу корней. Здесь та же ситуация, вы можете взять циркуль и линейку, вооружиться ими и хоть всю жизнь строить какие-то дуги, что-то пересекать, но вы никогда не сможете построить правильный 7-угольник. Ванцель доказал это в 1836 году. Но еще значительно раньше девятнадцатилетний Гаусс сумел построить правильный 17-угольник. Какая следующая фигура строится циркулем и линейкой из правильных многоугольников? После 17-угольника? Оказывается, 257-угольник. Это очень долго и сложно, но можно.
Вернемся к треугольным числам.
Понятно теперь, как мы будем выводить общую формулу? Мы запишем всё наоборот. Мы здесь запишем
1 + 2 + 3 + 4 + … + m = х,
m + (m − 1) + (m − 2) + … + 1 = х.
Теперь сложим и получим m экземпляров какого числа? Числа (m + 1):
(m + 1)m = 2х.
Поэтому формула вот такая:
Теперь можно подставлять вместо m любые натуральные числа и получать треугольные.
А вот теперь задается вопрос. Итак, число является треугольным, значит оно имеет такой вид
С другой стороны, оно квадратное, то есть имеет вид: n2.
Получается замечательное уравнение для решения в целых числах
m(m + 1)/2 = n2.
А теперь смотрите? Может быть, вы помните, что такое делители числа? Делитель числа а — это такое число, на которое а делится (без остатка).
m и (m + 1) — два соседних числа. Значит, одно из них точно четное, а значит, делится на 2. Значит m(m + 1)/2 — произведение двух целых чисел. Четное поделится на 2, а нечетное не поделится. Важно так же, что у соседних чисел не может быть общих делителей.
15 делится на 3, 16 нет. На 3 делится каждое третье число.
16 делится на 2 и на 4, но на 3 не делится.
Слушатель: А единица?
А.С.: Да. Единица. Но единицу мы за делитель не считаем, на нее всё делится. Еще пример. 28 делится на 7. Следующее число, которое делится на 7 — 35, а предыдущее — 21. Значит 27 на 7 не делится. То есть m и (m + 1) точно не имеют общих делителей.
В другой части нашего уравнения написан квадрат: n2.
Его можно разложить на простые множители. И каждый такой множитель будет входить в разложение n2 в четной степени. Например, если n делится на 5, то n2 делится на 52.
Значит, чтобы выполнялось наше равенство, m(m + 1)/2 тоже должно делиться на 52. То есть на 25. Но m и (m + 1) не имеют общих делителей, значит одно из них делится сразу на 52.
И это будет верно для каждого простого делителя числа п. Иными словами наше равенство возможно, только если каждый из m и (m + 1) является квадратом[20].
Я, между прочим, в этой лекции обошел одну тонкость, которая называется основная теорема арифметики. В школе ее тоже обходят. Звучит она так: любое число однозначным образом раскладывается на простые множители. Школьников обманывают, говорят: «Ну, это очевидно». Действительно очевидно — если вы посидите, как я, и пораскладываете все числа от одного до 1000 на множители, то вы, конечно, убедитесь в этом. Но к абсолютному доказательству такая очевидность отношения не имеет.
Если же
