9. Квантовая механика II - Ричард Фейнман

Рассмотрим частный пример. Возьмем опять оператор Р^. Сперва, правда, немножко изменим определение операции Р. Пусть Р^ будет не просто зеркальным отражением, потому что оно требует определения плоскости, в которой поставлено зер­кало. Существует особый вид отражения, который указания плоскости не требует. Переопределим операцию Р^ таким обра­зом: сперва вы отражаете в зеркале, находящемся в плоскости z, так что z переходит в -z, x остается х, а у остается у; затем вы поворачиваете систему на угол 180° вокруг оси z, так что х переходит в -х, а у в -у. Все вместе называется инверсией, обращением координат. Каждая точка проецируется через начало координат в диаметрально противоположное положение. Все координаты всего на свете меняют знак. Эту операцию мы, как и прежде, будем обозначать символом Р. Она изображена на фиг. 15.4 и немного удобнее, чем простая операция отражения, потому что не нужно указывать, в какой координатной плоско­сти происходит отражение, достаточно лишь указать точ­ку, являющуюся центром симметрии.

Фиг. 15.4. Операция инверсии Р^. То, что находится в точке A (х, у, z), переходит в точку

А' (-х, -у, -z).

Теперь предположим, что у sac есть состояние |y0>, которое при операции инверсии переходит в еid|y0>, т. е.

Сделаем теперь новую инверсию. После двух инверсий мы вернемся к тому, с чего начали: ничего не изменится. Должно получиться

Но

Отсюда следует, что (еid)2=1. Значит, если оператор инверсии является операцией симметрии для какого-то состояния, то У d могут быть только две возможности:

еid=±1,

а это означает, что или

В классической физике, если состояние симметрично отно­сительно инверсии, то эта операция дает опять то же состояние. А в квантовой механике имеются две возможности: получается

либо то же состояние, либо минус то же состояние. Когда полу­чается то же состояние, Р^|y0>=|y0>, мы говорим, что у со­стояния |y0> четность положительна. Если знак меняется, так что Р^|y0>=-|y0>, мы говорим, что четность состояния отрицательна. (Оператор инверсии Р^ известен также как опе­ратор четности.) Состояние |I> иона Н+2 обладает положитель­ной четностью; состояние же |II> — отрицательной [см. (15.12)]. Бывают, конечно, состояния, не симметричные отно­сительно операции Р^;это состояния без определенной четности. Например, в системе Н+2 состояние |I> имеет положительную четность, состояние | II> — отрицательную, а состояние | 1у определенной четности не имеет.

Когда мы говорим о том, что операция (например, инверсия) была совершена «над физической системой», то это можно пред­ставлять себе двояким образом. Можно считать, что все, что было в точке r, физически сдвинулось в обратную точку -r; или можно считать, что мы смотрим на ту же систему из новой системы отсчета х', y', z', связанной со старой формулами х'=-х, у' =-у и z'=-z. Точно так же, когда мы говорим о поворотах, то можно либо считать, что мы поворачиваем цели­ком всю физическую систему, либо что поворачиваем систему координат, в которой мы измеряем нашу систему, оставляя последнюю закрепленной в пространстве. Эти две точки зрения по существу равноценны. Они равноценны и при повороте, только поворот системы на угол q подобен повороту системы отсчета на отрицательный угол —q. В нашем курсе мы обычно смотрели, что получается, когда берется проекция на новую систему осей. То, что при этом получается, совпадает с тем, что получится, если мы оставим оси прежними и повернем тело на столько же назад. Когда вы это делаете, не забудьте поменять знаки углов.

Многие законы физики (но не все) не меняются при отраже­нии или инверсии координат. Они симметричны по отношению к инверсии. Законы электродинамики, например, не изменяются, если мы меняем x на -х, у на -у и z на -z во всех уравнениях. То же относится и к законам тяжести, и к сильным взаимодей­ствиям ядерной физики. Только у слабых взаимодействий, ответственных за b-распад, нет такой симметрии. [Мы обсуждали это несколько подробнее в гл. 52 (вып. 4).] Но мы сейчас пре­небрежем b-распадом. Тогда в любой физической системе, на которую, как можно думать, b-распад не оказывает заметного влияния (в качестве примера возьмем испускание света атомом), гамильтониан H^ и оператор Р^ будут коммутировать, В этих обстоятельствах верно следующее утверждение. Если четность состояния вначале положительна и вы поинтересуетесь физиче­ской ситуацией через некоторое время, то увидите, что четность останется положительной. Пусть, например, нам известно, что атом перед тем, как испустить фотон, находился в состоянии с положительной четностью. Вы рассматриваете всю эту систему (включая фотон) после испускания; четность опять будет поло­жительна (и точно так же было бы, если бы вы начали с отрица­тельной четности). Этот принцип именуется сохранением чет­ности. Вы теперь понимаете, почему слова «сохранение четно­сти» и «симметрия относительно отражений» в квантовой меха­нике тесно переплетены. Хотя до последних лет считалось, что природа всегда сохраняет четность, теперь известно, что это не так. Выяснилось, что это неверно, потому что реакция b-pаспада не обладает симметрией относительно инверсии, обнаружен­ной в других законах физики.

Теперь мы можем доказать интересную теорему (справедли­вую до тех пор, пока слабыми взаимодействиями можно прене­брегать): любое состояние определенной энергии, не являющееся вырожденным, обязано обладать определенной четностью. Его четность должна быть либо положительна, либо отрицательна. (Припомните, что нам иногда встречались системы, в которых несколько состояний имели одну и ту же энергию,— такие со­стояния мы называем вырожденными. Так вот наша теорема к ним не относится.)

Мы знаем, что если |y0> — состояние определенной энергии, то

где Е — просто число, энергия состояния. Если у нас имеется произвольный оператор Q^, который является оператором сим­метрии для системы, то мы можем доказать, что

если только |y0> — единственное состояние с данной энергией. Рассмотрим новое состояние |y0> которое вы получаете после действия Q^. Если вся физика симметрична, то |y'0> должно иметь ту же энергию, что и |y0>. Но мы ведь выбрали случай, когда состояние с такой энергией только одно, а именно |y0>; значит, |y'0> должно быть тем же состоянием, отличаясь разве что фазой. Таково физическое доказательство.

Но то же последует и из нашей математики. Наше определе­ние симметрии —это (15.10) или (15.11), справедливое для лю­бого состояния |y>:

Но сейчас речь идет о состоянии |y0>, которое является состоя­нием с определенной энергией, так что Н^|y0>=Е|y0>. А раз Е — просто число, то оно попросту проходит сквозь Q^, и мы имеем

так что

Значит, |y'0>=Q^ ly0> — тоже состояние H^ с определенной энергией и при этом с тем же самым Е. Но по нашей гипотезе имеется только одно такое состояние; значит, |y0> должно быть равно ёid|y0>.

Все, что мы только что доказали, относится к любому опера­тору Q^, лишь бы он был оператором симметрии для физической системы. Поэтому когда в рассмотрение входят только электрические силы и сильные взаимодействия (и нет никакого b-распада), так что симметрия относительно инверсии является вполне допустимым приближением, в этих обстоятельствах Р^|y>=еid|y>. Но мы видели также, что еidобязано равняться либо +1, либо -1. Итак, любое состояние с определенной энергией (если оно не вырождено) навсегда снабжено либо положитель­ной, либо отрицательной четностью.