Верховный алгоритм - Педро Домингос

Предпочтение более простым гипотезам широко известно как бритва Оккама48, однако в контексте машинного обучения этот принцип немного обманчив. «Не множить сущее без необходимости», как часто перефразируют бритву, означает только то, что нужно выбирать самую простую теорию, которая подходит к данным. Оккам, наверное, пришел бы в недоумение от мысли, что нам надо отдавать предпочтение теории, которая не идеально подходит к доказательствам, только на том основании, что она более качественно обобщает. Простые теории предпочтительнее не потому, что они обязательно точнее, а потому, что они означают меньшую когнитивную нагрузку (для нас) и меньшие вычислительные затраты (для наших алгоритмов). Более того, даже самые замысловатые модели — обычно лишь существенное упрощение реальности. Из теоремы о бесплатных обедах мы знаем, что даже в случае теорий, идеально подходящих к данным, нет гарантии, что простейшая обобщает лучше всего, а на практике одни из лучших обучающихся алго­ритмов — например, бустинг и метод опорных векторов — извлекают на первый взгляд необоснованно сложные модели. (Мы посмотрим, почему они работают, в главах 7 и 9.)

Если точность обучающегося алгоритма в тестовой выборке разо­чаровы­вает, надо диагностировать проблему: дело в слепоте или галлюцинациях? В машинном обучении для этих проблем существуют специальные термины: смещение и дисперсия. Часы, которые постоянно опаздывают на час, имеют большое смещение, но низкую дисперсию. Если часы беспорядочно идут то быстро, то медленно, но в среднем показывают правильное время, дисперсия высокая, но смещение низкое. Представьте, что вы сидите в баре с друзьями, выпиваете и играете в дартс. Вы втайне от них годами тренируетесь, добились мастерства, и все дротики попадают прямо в яблочко. У вас низкое смещение и низкая дисперсия, что показано в нижнем левом углу этой диаграммы:

Ваш друг Бен тоже очень хорош, но сегодня вечером немного перебрал. Его дротиками утыкана вся мишень, но тем не менее он громко заявляет, что в среднем попал в десятку. (Может быть, ему надо было посвятить себя статистике.) Это случай низкого смещения и высокой дисперсии, показанный в правом нижнем углу. Подруга Бена Эшли попадает стабильно, но у нее есть склонность метить слишком высоко и вправо. Дисперсия у нее низкая, а смещение высокое (левый верхний угол). Коди никогда до этого не играл в дартс. Он попадает куда угодно, только не в центр. У него и высокое смещение, и высокая дисперсия (вверху справа).

Вы можете оценить смещение и дисперсию обучающегося алгоритма, сравнив его прогнозы после обучения на случайных вариациях обучающей выборки. Если он продолжает повторять те же самые ошибки, проблема в смещении и нужно сделать его эластичнее (или просто взять другой). Если в ошибках алгоритма нет никакой схемы, проблема в дисперсии и надо либо попробовать менее гибкий, либо получить больше данных. У большинства обучающихся алгоритмов есть «ручка», с помощью которой можно отрегулировать гибкость: это, например, порог значимости и штрафы за размер модели. Подстройка — первое, что нужно попробовать.

Индукция — противоположность дедукции

Более глубокая проблема, однако, заключается в том, что большинство обучающихся алгоритмов начинают с очень скромного объема знаний, и никакая подстройка не сможет вывести их к финишной черте. Без руко­водства знаниями, равными по объему содержимому мозга взрослого человека, они легко сбиваются с курса. Простое допущение, что вы знаете форму правды (например, что это маленький набор правил), — совсем немного, хотя из этого исходит большинство алгоритмов. Строгий эмпирик заметил бы, что это все, что закодировано в архитектуре головного мозга новорожденного. И действительно, дети подвержены переобучению чаще, чем взрослые, однако мы хотели бы учиться быстрее, чем младенцы (даже если не считать колледж, 18 лет — это все равно долго). Верховный алгоритм должен уметь начинать с большого объема знаний, заложенных людьми или выученных в предыдущие заходы, и использовать его для извлечения из данных новых обобщений. Этот подход практикуют ученые, и это далеко не «чистая доска». Индукционный алгоритм, основанный на правиле «разделяй и властвуй», на это не способен, но это может сделать другой способ формулировки правил.

Главное — понять, что индукция — просто обратный дедукции процесс, точно так же как вычитание — это противоположность деления, а интегрирование — противоположность дифференцирования. Идея была впервые предложена Уильямом Стэнли Джевонсом49 в конце первого десяти­летия XIX века. В 1988 году англичанин Стив Магглтон и австралиец Рэй Бантайн разработали первый практический алгоритм, основанный на этом принципе. Стратегия брать хорошо известную операцию и выводить ее противоположность имеет в математике долгую историю. Применение этого принципа к сложению привело к изобретению целых чисел, потому что без отрицательных чисел сложение не всегда имеет противоположность (3 – 4 = –1). Аналогично применение его к умножению привело к открытию рациональных чисел, а возведение в квадрат дало комплексные числа. Давайте посмотрим, можно ли применить этот принцип к дедукции. Вот классический пример дедуктивного рассуждения:

Сократ — человек.

Все люди смертны.

Следовательно…

Первое утверждение — факт о Сократе, а второе — общее правило о людях. Что из этого следует? Конечно, что Сократ смертен, если применить это правило к Сократу. При индуктивном рассуждении мы вместо этого начинаем с исходного факта следствия и ищем правило, которое позволило бы вывести второе из первого:

Сократ — человек.

………

Следовательно, Сократ смертен.

Одним из таких правил будет: если Сократ — человек, значит, он смертен. Это правило соответствует условиям задачи, но не очень полезно, потому что не специфично для Сократа. Однако теперь мы применим принцип Ньютона и обобщим правило до всех сущностей: если сущность — человек, значит, она смертна. Или, более сжато: все люди смертны. Конечно, было бы опрометчиво выводить это правило на примере одного только Сократа, однако нам известны аналогичные факты о других людях:

Платон — человек. Платон смертен.

Аристотель — человек. Аристотель смертен.

И так далее.

Для каждой пары фактов мы формулируем правило, которое позволяет нам вывести второй факт из первого и обобщить его благодаря принципу Ньютона. Если одно и то же общее правило выводится снова и снова, можно с определенной уверенностью сказать, что оно верно.

Пока что мы еще не сделали ничего такого, чего бы не умел алгоритм «разделяй и властвуй». Однако предположим, что вместо информации, что Сократ, Платон и Аристотель — люди, мы знаем только, что они философы. Мы по-прежнему хотим сделать вывод, что они смертны, и до этого сделали вывод или нам сказали, что все люди смертны. Чего не хватает теперь? Другого правила: все философы — люди. Это тоже вполне обоснованное обобщение (как минимум пока мы не решим проб­лему искусственного интеллекта и роботы не начнут философствовать), и оно заполняет пробел в наших рассуждениях:

Сократ — философ.

Все философы — люди.

Все люди смертны.

Следовательно, Сократ смертен.

Кроме того, мы можем выводить правила исключительно на основе других правил. Если мы знаем, что все философы — люди и все философы смертны, то можем индуцировать, что все люди смертны. (Мы не можем, однако, сделать вывод, что все смертные — люди, потому что нам известны другие смертные существа, например кошки и собаки. С другой стороны, ученые, люди искусства и так далее — тоже люди и тоже смертны, а это укрепляет правило.) В целом чем больше правил и фактов у нас есть изначально, тем больше возможностей индуцировать новые правила путем обратной дедукции. А чем больше правил мы индуцируем, тем больше можем индуцировать. Это положительная спираль создания знаний, которая ограничена только риском переобучения и вычислительной сложностью. Но от этих проблем исходные знания тоже помогают: если вместо одной большой дыры надо заполнить много маленьких, этапы индукции будут менее рискованными и, следовательно, менее подверженными переобучению. (Например, при том же количестве примеров выведение путем индукции правила, что все философы — люди, менее рискованно, чем вывод, что все люди смертны.)

Обратить операцию часто бывает сложно, потому у нее может быть несколько противоположностей: например, у положительного числа есть два квадратных корня — положительный и отрицательный (22 = (–2)2 = 4). Самый знаменитый пример — то, что интеграл производной функции воссоздает эту функцию лишь до постоянной. Производная функции говорит нам, насколько она идет вверх и вниз в данной точке. Сложение всех этих изменений возвращает нам эту функцию, за исключением того, что мы не знаем, где она началась. Мы можем «проматывать» интеграл функции вверх или вниз без изменения производной. Чтобы упростить проблему, функцию можно «сжать», предположив, что аддитивная постоянная равна нулю. У обратной дедукции схожая проблема, и одно из ее решений — принцип Ньютона. Например, из правил «Все греческие философы — люди» и «Все греческие философы смертны» можно сделать вывод «Все люди смертны» или просто «Все греки смертны». Однако зачем довольствоваться более скромным обобщением? Вместо этого лучше предположить, что все люди смертны, пока не появится исключение. (Которое, по мнению Рэя Курцвейла, скоро появится.)