8a. Квантовая механика I - Ричард Фейнман

Первый вопрос, на который нужно ответить: каковы базис­ные состояния для этой системы? Но вопрос этот поставлен не­правильно. Такой вещи, как единственный базис, не существует, а всякая система базисных состояний, которую вы выберете, не будет единственной. Всегда можно составить новые систе­мы из линейных комбинаций старой. Для базисных состоя­ний всегда есть множество выборов и все они одинаково законны.

Значит, надо спрашивать: не «каков базис?», а «каким его можно выбрать?». И выбрать вы вправе какой угодно, лишь бы вам было удобно.

Обычно лучше всего начинать с базиса, который физи­чески наиболее очевиден. Он не обязательно должен решать какую-то задачу или быть непосредственно важным в каком-то отношении, нет, он в общем должен только облегчать пони­мание того, что происходит.

Мы выбираем следующие базисные состояния:

Состояние 1. И у электрона, и у протона спины смотрят вверх.

Состояние 2. У электрона спин смотрит вверх, а у протона— вниз.

Состояние 3. У электрона спин смотрит вниз, а у протона —

вверх.

Состояние 4. И у электрона, и у протона спины смотрят

вниз.

Для краткой записи этих четырех состояний введем следую­щие обозначения:

Состояние 1: |+ +>; у электрона спин вверх, у протона спин вверх.

Состояние 2: | + ->; у электрона спин вверх,

у протона спин вниз.

Состояние 3: |- +>; у электрона спин вниз, у протона спин вверх.

Состояние 4: |- ->; у электрона спин вниз, у протона спин вниз. (10.1)

Помните, что первый знак плюс или минус относится к элек­трону, второй — к протону. Чтобы эти обозначения были у вас под рукой, они сведены на фиг. 10.1.

Фиг. 10.1. Совокупность базисных состояний

для основного состояния атома водорода.

Эти состояния мы обозначаем | + +>, | + ->> |- +>.

Временами будет удобнее обозначать эти состояния |1>, |2>, |3> и |4>.

Вы можете сказать: «Но частицы взаимодействуют, и, может быть, эти состояния вовсе не являются правильными базисными состояниями. Получается, будто вы рассматриваете обе частицы независимо». Да, действительно! Взаимодействие ставит перед нами вопрос: каков гамильтониан системы? Но вопрос о том, как описать систему, не касается взаимодействия. Что бы мы ни выбрали в качестве базиса, это никак не связано с тем, что слу­чится после. Может оказаться, что атом не способен оставаться в одном из этих базисных состояний, даже если с него все и на­чалось. Но это другой вопрос. Это вопрос о том, как со временем меняются амплитуды в выбранном (фиксированном) базисе. Вы­бирая базисные состояния, мы просто выбираем «единичные векторы» для нашего описания.

Раз уже мы коснулись этого, бросим взгляд на общую проб­лему отыскания совокупности базисных состояний, когда имеет­ся не одна частица, а больше. Вы знаете базисные состояния для одной частицы. Электрон, например, полностью описывается в реальной жизни (не в наших упрощенных случаях, а в реаль­ной жизни) заданием амплитуд пребывания в одном из следующих состояний:

| Электрон спином вверх с импульсом р> или

| Электрон спином вниз с импульсом р>.

В действительности существуют две бесконечные совокупности состояний, по одному на каждое значение р. Значит, сказать, что электронное состояние |y> описано полностью, можно лишь тогда, когда вы знаете все амплитуды

где + и - представляют компоненты момента количества движения вдоль ка­кой-то оси, обычно оси z, a p — вектор импульса. Стало быть, для каждого мыс­лимого импульса должны быть две ампли­туды (дважды бесконечная совокупность базисных состояний). Вот и все, что нужно для описания отдельной частицы.

Таким же образом могут быть написаны базисные состояния, когда частиц не одна, а больше. Например, если надо было бы рассмотреть электрон и протон в более сложном, чем у нас, слу­чае, то базисные состояния могли бы быть следующими: Электрон с импульсом p1 движется спином вверх, а протон с импульсом р2 движется спином вниз. И так далее для других спиновых комбинаций. Если частиц больше двух, идея остается та же. Так что вы видите, что распи­сать возможные базисные состояния на самом деле очень легко. Вопрос только в том, каков гамильтониан.

Нам для изучения основного состояния водорода нет нужды применять полные совокупности базисных состояний для раз­личных импульсов. Мы оговариваем и фиксируем определенные импульсные состояния протона и электрона, когда произносим слова «основное состояние». Детали конфигурации — амплиту­ды для всех импульсных базисных состояний — можно рассчи­тать, но это уже другая задача. А мы сейчас касаемся только влияния спина, так что ограничимся только четырьмя базис­ными состояниями (10.1). Очередной вопрос таков: каков га­мильтониан для этой совокупности состояний?

§ 2. Гамильтониан основного состояния водорода

Через минуту вы это узнаете. Но прежде хочу вам напомнить одну вещь: всякое состояние всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний. Для любого состоя­ния |y|> можно написать

Напомним, что полные скобки — это просто комплексные числа, так что их можно обозначить обычным образом через Сi, где i=l, 2, 3 или 4, и записать (10.2) в виде

Задание четверки амплитуд Сi полностью описывает спиновое состояние |y>. Если эта четверка меняется во времени (как это и будет на самом деле), то скорость изменения во времени дается оператором Н^. Задача в том, чтобы найти этот оператор H^ .

Не существует общего правила, как писать гамильтониан атомной системы, и отыскание правильной формулы требует большего искусства, чем отыскание системы базисных состоя­ний. Мы вам смогли дать общее правило, как записывать систему базисных состояний для любой задачи, в которой есть протон и электрон, но описать общий гамильтониан такой комбинации на этом уровне слишком трудно. Вместо этого мы подведем вас к гамильтониану некоторыми эвристическими рассуждениями, и вам придется признать его .правильным, потому что резуль­таты будут согласовываться с экспериментальными наблюде­ниями.

Вспомните, что в предыдущей главе мы смогли описать га­мильтониан отдельной частицы со спином 1/2, применив сигма-матрицы или в точности эквивалентные им сигма-операторы. Свойства операторов сведены в табл. 10.1. Эти операторы, являю­щиеся просто удобным, кратким способом запоминания матрич­ных элементов типа <+|sz|+> были полезны для описания поведения отдельной частицы со спином 1/2. Возникает вопрос, можно ли отыскать аналогичное средство для описания системы с двумя спинами. Да, и очень просто. Вот смотрите. Мы изобре­тем вещь, которую назовем «электрон-сигма» и которую будем представлять векторным оператором se с тремя компонентами sex, sey и sez. Дальше условимся, что когда одна из них действует

Таблица 10.1 · СВОЙСТВА СИГМА-ОПЕРАТОРОВ

на какое-то из наших четырех базисных состояний атома водо­рода, то она действует на один только спин электрона, причем гак, как если бы электрон был один, сам по себе. Пример: чему равно syе|-+>? Поскольку sy , действующее на электрон со спином вниз, дает -i, умноженное на состояние с электроном, у которого спин вверх, то

sey|-+>=-i|++>.

(Когда syе действует на комбинированное состояние, оно пе­реворачивает электрон, не затрагивая протон, и умножает результат на -i.) Действуя на другие состояния, sеудаст

Напомним еще раз, что оператор sе действует только на первый спиновый символ, т. е. на спин электрона.

Теперь определим соответствующий оператор «протон-сиг­ма» для спина протона. Три его компоненты spx, spy, spz, действуют так же, как и sе, но только на протонный спин. Например, если spxбудет действовать на каждое из четырех базисных со­стояний, то получится (опять с помощью табл. 10.1)

Как видите, ничего трудного. В общем случае могут встретиться вещи и посложнее. Например, произведение операторов seyspz. Когда имеется такое произведение, то сначала делается то, что хочет правый оператор, а потом — чего требует левый. Например,