Восхождение человечества - Джейкоб Броновски

Пифагор доказал, что мир звуков подчиняется последовательности целых простых чисел. Он доказывал, что и визуальный мир подчиняется тому же математическому принципу. Это заявление было поразительным! Я смотрю на чудесный красочный пейзаж Греции, на великолепие ее диких природных форм, орфических лощин и бескрайнего моря. Я спрашиваю себя: как за этой дикой красотой хаоса можно увидеть строгую числовую структуру?

Поиск ответа на мой вопрос заставляет вернуться к проблеме исходных констант, отобранных в соответствии с нашим восприятием природных законов, иначе говоря, мы должны определиться с набором эмпирических универсалий. Окружающий мир базируется на двух принципах: вертикали (силе тяжести) и линии горизонта, расположенной к ней под прямым углом. Можно свободно передвигать значения горизонтали или вертикали, не опасаясь, что пропадет прямой угол, который формируют эти две оси. Более того, я могу повернуть угол вокруг каждой из линий, все равно через четыре поворота я вернусь к прямому углу, образованному вектором силы тяжести и линией горизонта.

В визуальном плане, в вертикальной картинке, которую видит наш глаз, прямой угол определяется четырехкратным поворотом. Такое же правило действует для горизонтального мира, в котором мы передвигаемся. Представьте себе плоский мир, нанесенный на карту и сориентированный по компасу. Вот я смотрю через пролив с острова Самос на Малую Азию, прямо на юг. Я использую плашку в виде прямоугольного треугольника как указатель и направлю его вершину на юг, чтобы иметь возможность сделать четыре поворота вокруг оси. Каждый раз я буду поворачивать указатель на 90°, чтобы получить после первого поворота направление на запад, после второго — на север, после третьего — на восток, после четвертого — снова на юг. То есть, совершив оборот на 360°, вершина треугольника вновь будет указывать на Малую Азию, откуда я начал движение.

По этому принципу создан не только окружающий нас мир природы, его соблюдают все строители от доисторических времен до наших дней: вавилоняне учитывали его, когда обустраивали висячие сады, египтяне закладывали его в основу проектов, которые создавали до возведения пирамид. То есть уже в древних культурах на практическом уровне было знание, что есть плотничий (прямоугольный) треугольник, в котором правят соотношения между числами. Вавилонские строители, вероятнее всего, уже с 2000 года до н. э. знали множество формул, индейцы и египтяне — несколько меньше. Египтяне, как кажется, почти всегда использовали треугольник с соотношениями сторон 3:4:5. Однако только в 550 году до н. э. Пифагор перевел это знание из мира эмпирики в мир того, что сегодня мы называем доказательством. То есть он задал вопрос: «Каким образом цифры, образующие этот плотничий треугольник, следуют из того факта, что прямой угол — это то, что можно повернуть четыре раза так, чтобы он указал в ту же сторону?»

Доказательство Пифагора, должно быть, выглядело следующим образом (оно заметно отличается от того, которое приведено в современных школьных учебниках). Четыре высшие точки — юг, запад, север, восток — треугольников, которые образуют крест компаса, — это углы квадрата. Я сдвигаю четыре треугольника таким образом, чтобы длинная сторона каждого заканчивалась на высшей точке соседнего. Теперь я построил квадрат по самой длинной стороне прямоугольных треугольников — по гипотенузе. Чтобы понять, что является частью замкнутой области, а что нет, я заполню маленький внутренний квадрат дополнительной плиткой. (Я использую плитки, поскольку многие узоры в Древнем Риме и на Востоке основаны на этом типе связи между математическим соотношением и размышлениями о природе.)

Теперь у нас есть квадрат на гипотенузе, и мы, конечно, можем это вычислить из квадратов катетов. Но так мы не увидим естественную структуру и сущность фигуры. Нам не нужны вычисления. Просто сыграем в детскую игру, и это откроет перед нами больше любых вычислений. Переместим два треугольника на новые позиции. Подвинем треугольник, указывающий на юг, так, чтобы его гипотенуза была рядом с гипотенузой треугольника, указывающего на север. И переместим треугольник, указывающий на восток, так, чтобы его гипотенуза была рядом с гипотенузой треугольника, указывающего на запад.

Теперь мы создали L-образную фигуру с той же площадью (естественно, ведь она составлена из тех же кусочков), чьи стороны в то же время — катеты прямоугольного треугольника. Теперь я положу делитель, который отделил конец L от верхней палочки. Очевидно, что конец — это квадрат катета треугольника, а вертикальная часть L — это квадрат гипотенузы.

Пифагор доказал общую теорему: не только для египетского треугольника 3:4:5 или любого из вавилонских треугольников, а для каждого треугольника с прямым углом. Он доказал, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, в том и только в том случае, если треугольник содержит прямой угол. Например, стороны 3:4:5 образуют прямоугольный треугольник потому, что:

52=5x5=25=16+9=4x4+3x3=42+З2

Это же правило действует и для вавилонского треугольника, длина сторон которого составляет от 8:15:17 до 3367:3456:4825. Без сомнения, это означает, что вавилоняне хорошо знали арифметику.

Пифагор доказал общую теорему не только для египетского треугольника с соотношением сторон 3:4:5, но и для любого другого, имеющего прямой угол.

Две записи доказательств теоремы Пифагора: китайская печатная и арабская рукописная (датируется 1258 годом).

По сей день теорема Пифагора остается самой важной теоремой математики. Может показаться, что это громко сказано, но Пифагор установил фундаментальную характеристику пространства, в котором мы существуем, и впервые описал его с помощью чисел. И точность этих чисел отражает точность законов, которые управляют Вселенной. Недаром теорему Пифагора предлагают отправить к другим планетам для того, чтобы проверить, есть ли там разумная жизнь.

Дело в том, что теорема Пифагора в том виде, в каком я ее доказал, раскрывает симметрию плоского пространства. Прямой угол становится элементом симметрии, потому что делит плоскость крестообразно. Если допустить, что плоскость основана на симметрии другого рода, то теорема перестанет быть верной, а между сторонами треугольников мы обнаружим другие соотношения. И пространство — такая же важная часть природы, как материя (даже невидимая, как, например, воздух). Вот чему учит нас геометрия. При этом важно, что симметрия пронизывает всю гармонию природы.

Когда Пифагор доказал свою великую теорему он принес жертву музам — сто волов в благодарность за вдохновение. Это был жест гордости и смирения — чувств, переполняющих каждого ученого в день, когда он достигает результата и объявляет: «Я нашел ключ к структуре самой природы».

Последователи видели в Пифагоре не только философа, но и в немалой степени религиозного лидера. Причины этого кроются в сильном азиатском влиянии, которое испытывала вся греческая культура и про которое мы частенько забываем. Мы привыкли считать Грецию частью западной культуры, но Самос, центр классической Греции, находится в миле от побережья Малой Азии. Через его порты и школы идеи восточных мудрецов достигали Греции, а спустя несколько веков, как ни странно, стали распространяться в обратном направлении — задолго до того, как попали в Западную Европу.

Знания совершают потрясающие путешествия, и то, что кажется нам разрывом во времени, часто оборачивается медленным прогрессом от места к месту, от одного города к другому. Караваны везут вместе с товарами и методы торговли своих стран — единицы измерения, методы расчета, — и техники и идеи идут туда же, куда и они, через Азию и Северную Африку. Так и математика Пифагора не пришла к нам напрямую. В стройную систему ее преобразовал другой человек, живший в 300-х годах до н. э. в Александрии, крупном городе, расположенном на берегу полноводного Нила. Он же сделал эту систему известной. Имя этого человека — Евклид.

Совершенно очевидно, что он принадлежал к пифагорейской традиции и был ее бескорыстным и верным последователем. Известно, что в ответ на вопрос одного из своего учеников о практическом применении теоремы Пифагора Евклид сказал рабу: «Он хочет получить прибыль от обучения. Дай ему монетку». Порицание, возможно, было парафразом девиза пифагорейского братства, который грубо можно перевести так: «График и шаг, не график и монетка». «Шаг» здесь — это шаг вперед в познании, или то, что я называю восхождением человечества.

Влияние Евклида как модели математического рассуждения было огромным и устойчивым. Его книгу «Начала» переводили на латынь, арабский, еврейский и многие европейские языки, а по числу переизданий она уступает только Библии. Меня обучал математике человек, который все еще цитировал теоремы геометрии по числам, присвоенным им Евклидом, и пятьдесят лет назад это вовсе не было редкостью, а, наоборот, обычной вещью. В биографии Томаса Гоббса, опубликованной в 1680 году знаменитым антикваром и автором многих других биографий Джоном Обри, тот написал, что в зрелом возрасте Гоббс всерьез увлекся геометрией, после того как увидел в библиотеке издание «Начал» раскрытым на «47 Element libri I». Предложение 47 и есть знаменитая теорема Пифагора.