Математика для гуманитариев. Живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев

Беру два квадрата со стороной a + b.

Они будут одинаковы, но я их по-разному разобью на части (рис. 64).

Рис. 64. Слева и справа виден квадрат со стороной a + b. Он по-разному разбит на части, но и там, и тут мы видим 4 одинаковых треугольника (их стороны указаны на рис. 63). Убирая эти треугольники, слева видим квадрат гипотенузы, а справа — сумму квадратов катетов. Вот и всё доказательство.

Площадь внутри левого квадрата равна c2.

Площади квадратов внутри правого квадрата равны a2 и b2.

Теперь смотрите, правый квадрат состоит из 4 треугольников и двух квадратов, а левый — из четырех таких же треугольников и одного квадрата. Но внешние квадраты имеют одинаковые площади. Из площади правого квадрата я вычел 4 одинаковые площади и из площади второго квадрата те же 4 площади. Значит, площади оставшегося должны быть одинаковыми. В одном случае остается с2, а в другом — сумма а2 + b2. Значит,

a2 + b2 = c2.

Теорема Пифагора доказана. Но это было небольшое отступление. Я хотел сказать, что диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна корню из двух, согласно тому, что я нарисовал, она и в самом деле ему равна. Древние ничего не могли с этим числом поделать. Потому что, если отложить отрезок, равный нашей диагонали, от нуля, то вы попадете в точку, которая заведомо не равна никакому числу вида m/n. Ни при каких m и n. Вы переберете все целые числа, и в числителе, и в знаменателе, и никогда не получите число, которое в точности совпадет с корнем из двух.

Есть очень много разных доказательств этого факта, и одно из них совершенно геометрическое. Мы разберем ниже два разных доказательства.

Мы сейчас придумаем некую процедуру, которую мы применим к любому рациональному числу, и она всегда будет конечной. А дальше, я вам покажу, что та же самая процедура для числа «корень из двух» никогда не прекращается, тем самым это число не может быть рациональным

Слушатель: То есть это несуществующее число?

А.С.: Существующее, но не в этом круге подозреваемых лиц. Это число существует, и оно очень нервировало греков, они не хотели допустить, что оно существует. Однако они отлично знали, что оно нужно для вычислений, но не выражается в виде отношения целых чисел. Они не понимали, что с ним делать. Вроде число не существует, а оно-таки есть. Оно не должно существовать, но оно существует. Числа, которые не представляются в виде m/n, называются иррациональными.

Что такое вообще «иррациональность»? Нелогичность. Неразумность. Иррациональное поведение, например. Но в математике, в отличие от философии, есть совершенно конкретные объекты, иррациональные числа. Это такие числа которые не представляются в виде m/n. Тем не менее, они вполне себе логичные и очень даже разумные.

Слушатель: А числа m и n, они целые?

А.С.: Целые. Непременно целые числа. Иррациональные числа — это числа, которые не являются отношением двух целых чисел. Рациональное число — это отношение двух целых.

Есть еще одно труднопроизносимое слово, оно тоже в философском смысле кое-что означает. Слово «трансцендентно». Что же оно означает в житейском (не математическом) смысле?

Слушатель: Находится за пределами.

А.С.: За пределами чего бы то ни было.

Слушатель: То есть иррациональное поведение — это поведение странное, но всё же в каких-то рамках. А трансцендентное — это что-то за пределами понимания окружающих.

А.С.: В математике трансцендентные числа — это тоже определенный термин. Им противопоставляются алгебраические числа. Согласно строгому математическому определению, алгебраическое число — это корень многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентным числом называется такое число, что ни один многочлен с целыми коэффициентами не обнуляется при подстановке вместо переменной х этого числа.

Внутри множества алгебраических чисел живут как все рациональные, так и корни любой степени и много, много чего еще. Очень много разных чисел. И вот трансцендентные — это те числа, которые не являются алгебраическими. Выдумать неалгебраическое число достаточно трудно. Сначала думали, что все числа алгебраические. А в XIX веке произошел взрыв в математике, было обнаружено огромное количество неалгебраических чисел — но это было только в XIX веке. Примером трансцендентного числа является знаменитое число «пи» — длина окружности с диаметром, равным 1. Доказательство трансцендентности одного-единственного числа «пи» занимает 10 лекций на 4-м курсе мехмата МГУ. Очень мало людей на Земле, которые знают это доказательство. Это — труднейшая теорема. А вот про иррациональность корня из двух всё очень просто.

Я представлю вам два разных доказательства: ОДНО будет длинным, но геометрическим (и оно будет полезно для изучения других тем), второе — короткое стандартное доказательство.

Я проведу некую процедуру; ну, сделал это не я, а не кто иной, как Евклид 2,5 тысячи лет назад. Называется эта процедура алгоритмом Евклида. Разновидность алгоритма Евклида называется цепной дробью. Цепная дробь — это очень просто. Любое число можно разложить в цепную дробь. Ниже я покажу, что числа вида m/n в цепную дробь раскладываются конечным образом, а корень из двух в цепную дробь раскладывается только бесконечным образом.

Приведу пример: дробь 21/13.

Давайте посмотрим, как превращать это число в цепную дробь.

Выделим из этой дроби целую часть. Между какими двумя целыми числами она расположена?

Слушатель: Между 1 и 2.

А.С.: Правильно. Значит оно равно 1 плюс сколько?

Слушатель: Мне трудно из 21 вычесть 13.

А.С.: Ничего. Я вычту.

Слушатель: 8, да?

А.С.: Правильно, да.

21/13 = 1 +  8/13

Но это не всё, что я хотел сказать. Потому что я напишу так. Один плюс один разделить на тринадцать восьмых:

Этот фокус с переворачиванием дроби «вверх ногами» и выделением целой части из знаменателя мы будем повторять до тех пор, пока будет возможно. А возможность такая будет нам представляться до тех пор, пока на очередном шагу после выделения целой части дробная часть не окажется равна нулю. Если этого никогда не случится, то исходное число окажется разложенным в бесконечную цепную дробь.

Итак, продолжим разложение числа 21/13 в цепную дробь:

Стоп, машина. После выделения целой части из числа 2 дробная часть равна нулю. Значит, числу 21/13 «суждено» разлагаться в конечную цепную дробь. Если кто не верит, можете упростить эту «6-этажную» дробь, сделав из нее обыкновенную. Конечно,