9. Квантовая механика II - Ричард Фейнман

Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой замене обозначений, которая, надеемся, вас не слишком смутит. Форма функции С (х), определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния |y>. Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции С (х) идет речь, поставив снизу индекс, скажем Сy(х). Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву С и пользуются символом y для опреде­ления функции

Поскольку это обозначение принято во всем мире, неплохо было бы и вам привыкнуть к нему и не пугаться, встретив его где-нибудь. Надо только помнить, что y теперь будет использоваться двояким образом. В (14.14) y обозначает метку, которой мы отметили заданное физическое состояние электрона. А в (14.16) слева символ y применяется для определения математической функции от х, равной амплитуде, связываемой с каждой точкой х прямой. Надеемся, что это не слишком смутит вас, когда вы привыкнете к самой идее. Кстати, функцию y (х)обычно именуют «волновой функцией», потому что она очень часто имеет форму комплексной волны своих переменных.

Раз мы определили y (х)как амплитуду того, что электрон в состоянии y обнаружится в точке х, то хотелось бы интер­претировать квадрат абсолютной величины y как вероятность обнаружить электрон в точке х. Но, к сожалению, вероятность обнаружить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю. Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке беско­нечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом. Вероятность обнаружить электрон мы можем описать только на языке распределения вероятно­стей, которое дает относительную вероятность обнаружить электрон в различных неточно указанных местах прямой. Пусть Вер. (х, Dх) обозначает вероятность обнаружить электрон в узком интервале Dх: возле точки х. Если мы в каждой физичес­кой ситуации будем пользоваться достаточно мелким масшта­бом, то вероятность будет от точки к точке меняться плавно, и вероятность обнаружить электрон в произвольном конечном маленьком отрезке прямой Dх; будет пропорциональна Dх. И можно так изменить наши определения, чтобы это было учтено. Можно считать, что амплитуда <x|y> представляет своего рода «плотность амплитуд» для всех базисных состояний |х> 1 в узком интервале х. Поскольку вероятность обнаружить

iэлектрон в узком интервале Dх вблизи х должна быть пропор­циональна длине интервала Dх, мы выберем такое определение <х |y>, чтобы соблюдалось следующее условие: Вер. (х, Dх)=| <x|y|>|2Dх. Амплитуда <x|y> поэтому пропорциональна амплитуде того, что электрон в состоянии y будет обнаружен в базисном состоя­нии х, а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды <x|y> дает плот­ность вероятности обнаружить электрон в любом узком интер­вале. Можно писать и так:

Вер. (x, Dх)=| y (х)|2 Dх. (14.17)

Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии |y>, а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в дру­гом состоянии |y>, которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона. Когда речь шла о конеч­ной системе дискретных состояний, мы пользовались уравне­нием (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать

А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала х будет эквивалентна умножению на Dx, а сумма по всем значениям х превратится просто в интеграл. При наших измененных опре­делениях правильная формула будет такой:

Амплитуда <x|y> — это то, что мы теперь называем y (х); точно так же амплитуду <x|y> мы обозначим j(х). Вспоминая, что <j|x> комплексно сопряжена с <x|j>, мы можем (14.18) переписать в виде

При наших новых определениях все формулы останутся преж­ними, если только всюду знак суммы заменить интегрирова­нием по х.

К тому, что было сказано, нужно сделать одну оговорку. Любая подходящая система базисных состояний должна быть полной, если хотят, чтобы она сполна отражала все, что проис­ходит. Для одномерного движения электрона в действитель­ности недостаточно указать только базисные состояния |x>, потому что в каждом из этих состояний спин электрона может быть направлен вверх или вниз. Один из способов получить полную систему — взять две совокупности состояний по х: одну для спина вверх, другую для спина вниз. Мы, впрочем, пока не будем входить в такие подробности.

§ 3. Состояния с определенным импульсом

Пусть у нас имеется электрон в состоянии |y>, описывае­мом амплитудой вероятности (х|y>=y (х). Мы знаем, что y (х)обозначает состояние, в котором электрон размазан по прямой по какому-то закону, так что вероятность обнаружить его в узком интервале dx близ точки х попросту равна

Вер. (х, dx)=|y (х)|2dx.

Что можно сказать об импульсе этого электрона? Можно спро­сить, какова вероятность того, что импульс этого электрона равен р? Начнем с расчета амплитуды того, что состояние |y> присутствует в другом состоянии | имп. p>, которое мы опреде­лим как состояние с определенным импульсом р. Эту амплитуду можно найти, применяя наше основное уравнение для разло­жения амплитуд (14.20). В терминах состояний |имп. p>

А вероятность того, что у электрона будет обнаружен импульс р, выразится квадратом абсолютной величины этой амплитуды. Но опять возникает тот же вопрос насчет нормирования. Ведь вообще можно говорить только о вероятности обнаружить электрон с импульсом в узкой области dp близ значения р. Вероятность того, что импульс в точности равен р, равна нулю (разве что состояние |y> окажется состоянием с определенным импульсом). Только вероятность обнаружить импульс в интер­вале dp возле значения р может оказаться конечной. Нормиров­ку можно делать по-разному. Мы выберем тот способ нормиров­ки, который нам кажется особенно удобным, хотя вам сейчас это может так и не показаться.

Примем такую нормировку, чтобы вероятность была связана с амплитудой равенством

Это определение дает нам нормировку амплитуды <имп. р|x>. Амплитуда <имп. р|х>, естественно, комплексно сопряжена с амплитудой <х|имп. р>, а последнюю мы писали в (14.15). При нашей нормировке оказывается, что коэффициент пропор­циональности перед экспонентной как раз равен единице, т. е.

Тогда (14.21) превращается в

Вместе с (14.22) это уравнение позволяет находить распреде­ление импульсов для любого состояния |y>.

Возьмем частный пример: скажем, когда электрон распо­ложен в некоторой области вокруг х=0. Пусть мы взяли вол­новую функцию вида

Распределение вероятности иметь то или иное значение х для такой волновой функции дается ее квадратом

Функция плотности вероятности Р(х) — это кривая Гаусса, по­казанная на фиг. 14.1.

фиг. 14.1. Плотность вероятности для волно­вой функции (14.24).

Большая часть вероятности сосредото­чена между х=+sи х=-s. Мы говорим, что «полуширина» кривой есть а. (Точнее, а равняется средней квадратичной координате х, если разброс координат соответствует этому распределению.) Коэффициент К следовало бы выбрать так, чтобы плотность вероятности Р(х)не просто была пропорциональна вероятности (на единицу длины ж) обнаружить электрон, но имела бы такой масштаб, чтобы Р(х)Dx равнялось вероят­ности обнаружить электрон в Dx вблизи х. Коэффициент К, при котором так и получается, можно найти из требования