Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - Микель Альберти

Японские шары темари.

В центре темари находится шар из пенопласта или мягкого пластика, куда удобно втыкать булавки. Узоры на ткани шаров преимущественно геометрические и отличаются невероятной сложностью.

При изготовлении шаров темари очень полезной оказывается раздвоенная линейка в форме буквы V с углом раствора в 72°, которая, по сути, представляет собой две линейки с соединенными концами. Этот инструмент нужен потому, что большинство узоров темари представляют собой замощения сферы, основанные на додекаэдре. Это означает, что мастерам нужно работать с правильными пятиугольниками и системой из пяти радиальных осей. Если мы разделим полный круг (360°) на пять частей, то получим угол раствора линейки — 72°.

Одна из первых задач, которую требуется решить при изготовлении темари, касается разделения поверхности шара на восемь равных частей. Для этого нужно воспользоваться основным различием между плоскостью и криволинейной поверхностью, то есть сферой. На плоскости сумма углов треугольника всегда равна 180°, а на сфере она может составлять 270°.

Поверхность темари делится на восемь частей следующим способом. Сначала на шаре булавкой отмечается произвольная точка. Затем вокруг шара оборачивается лента так, что она проходит через отмеченную точку дважды. Далее эта точка отмечается на ленте, и лента обрезается. Так определяется длина окружности шара. Теперь лента складывается пополам так, и на ней отмечается место сгиба. Затем лента сгибается еще раз, и метки ставятся на каждой из ее половин. Таким образом отметки на ленте указывают ее четверть, половину и три четверти длины.

Теперь нужно приколоть ленту к шару булавкой и обвязать ее вокруг шара. Воткнем в шар еще одну булавку посредине ленты. Эта булавка укажет «южный полюс», предыдущая — «северный полюс». Повернув шар так, чтобы лента располагалась перпендикулярно оси, проходящей через полюса, воткнем булавки туда, где находятся отметки на ленте. Таким образом, в шар будет воткнуто в общей сложности шесть булавок, которые укажут вершины шести равносторонних сферических треугольников. Однако углы этих треугольников будут равны не 60, а 90°. На поверхности сферы углы равносторонних треугольников прямые. Три перпендикулярные оси (большие круги), определяемые этими шестью булавками, делят поверхность сферы на восемь равных частей.

Эти оси могут стать основой для простого узора из цветных нитей. Отметив другие меридианы или параллели, мы разделим сферу на большее число частей, как показано на фотографии слева на стр. 115. В узоре на этом шаре выделен экватор шара, а из полюсов проведены меридианы так, что образуется 24 двуугольника (по 12 каждого цвета) в 15° каждый. Остальные два шара, изображенные на фотографии, разделены на пятиугольные грани, подобные додекаэдру.

Основой для узора на шаре темари может быть не только додекаэдр, но и любое другое платоново тело.

* * *

МУЗЫКА ГАМЕЛАНА

Гамеланы, народные оркестры островов Бали и Ява (Индонезия), состоят из одного или двух больших гонгов, двух барабанов, как минимум четырех пар тарелок, двух групп маленьких гонгов по 8-14 в каждой и флейт. Наиболее характерная секция гамелана — металлические ксилофоны разных размеров, состоящие из 7-12 брусков, на которых играют специальными молоточками.

Композиции, исполняемые гамеланами, делятся на ярко выраженные циклические секции, описываемые степенями двойки. Эти секции состоят из 2, 4, 8, 16 или 32 тактов. Степени двойки также определяют скорость исполнения: орнаментирование исполняется в 4 или 8 раз быстрее основной мелодии, а та, в свою очередь, в 4 или 8 раз быстрее, чем упрощенные версии мелодии. Удвоение скорости исполнения способствует сохранению ритма и придает музыке характерную динамичность.

* * *

Во всех ресторанах крупнейшего архипелага мира, Индонезии, бумажные салфетки складывают особым образом. В любом индонезийском варунге салфетки складываются своим способом, но официантки во всех ресторанах, от запада Суматры до востока Папуа, умеют складывать салфетки в характерном индонезийском стиле.

Стол в индонезийском варунге.

Схема складывания салфеток в трех разных кафе.

Квадратная салфетка складывается так, что линии сгиба делят прямой угол при одной из ее вершин на три равные части. Таким образом получается симметричный четырехугольник с прямым углом, углом в 30° и двумя углами в 120°.

Салфетка, сложенная в индонезийском стиле.

Долгое время я думал, что официанты складывают салфетки так же, как я, то есть прикладывают угол салфетки к середине противоположной стороны:

Схема складывания салфетки, в которой угол накладывается на серединный перпендикуляр так, что нижняя вершина остается на своем месте.

Получится прямоугольный треугольник. Один из его катетов равен половине гипотенузы, следовательно, угол этого треугольника равен 30°. Когда мне довелось увидеть, как официантки складывают салфетки, я решил, что мое предположение справедливо — они явно прикладывали угол салфетки к середине противоположной стороны.

Однако я ошибался. Расспросив официанток, я понял, что они в самом деле применяли геометрический метод, но далекий от моих предположений, — они старались согнуть салфетку так, чтобы разделить угол при вершине в соотношении 1:2. Вместо того чтобы прикладывать угол салфетки к середине противоположной стороны, они прикладывали сторону к центру салфетки, не складывая ее. Иными словами, они проводили биссектрису оставшейся части угла, полученного при сгибе. Этот метод был внешне неотличим от моего, и я смог понять разницу, только тщательно расспросив официанток.

Математическая идея, на которой основан этот метод, такова: 3 = 1 + 2. Обозначив через R оставшуюся часть угла, полученного при сгибе А, получим:

90° = R + 2·A.

Так как мы хотим, чтобы согнутый угол совпадал с оставшимся углом, прямой угол салфетки окажется разделен на три части:

Проекция математических идей заключается в том, чтобы при помощи математики объяснить события, которые необязательно имеют математическую природу либо действительно описываются математически, но не так, как кажется. Не стоит пытаться математически объяснить мысли и действия других людей, иначе легко попасть в неловкое положение: человек, который нам покажется несведущим в математике, может оказаться гораздо более компетентным, чем многие вокруг.

Глава 5

Этноматематика в повседневной жизни

Даяки (Борнео)

Альфред Рассел Уоллес был британским натуралистом, который в середине XIX века объехал Малайский архипелаг. Современник Дарвина, Уоллес изучал флору и фауну Зондских островов и разработал теорию эволюции, весьма схожую с дарвиновской. Его труд «Путешествие на Малайский архипелаг» представляет собой одновременно отчет о результатах исследования и документальное свидетельство о жизни и обычаях некоторых племен и народов региона. Встречи с местными жителями, описанные натуралистом, помогают понять некоторые способы их мышления.

Уоллес упоминает о встрече с членами племени даяков, жившего во внутренней части острова Борнео. В то время охота за головами была чрезвычайно распространенным обычаем среди племен Юго-Восточной Азии, но туземцам были не чужды доверие и честность. Сегодня в Юго-Восточной Азии, особенно в Малайзии, Таиланде и Индонезии, достаточно часто местные жители утвердительно отвечают на вопросы, если не знают на них ответа. Уоллес отмечает, что получить от даяков точную информацию и узнать их личное мнение было непросто. Даяки считали: если они скажут, что чего-то не знают, то случайно могут солгать! Следовательно, в разговоре с даяками крайне важно знать, известен ли им предмет разговора.

Полный подсчет (Индонезия)

Уоллес посвящает целую главу рассказу о том, как раджа острова Ломбок (входит в архипелаг Зондских островов) проводил перепись населения. С точки зрения математики перепись заключается в том, чтобы установить взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и жителями области или региона — сосчитать их. Раджа хотел определить, сколько у него подданных, причем ему нужна была не статистическая оценка, а именно точное количество. Размер податей на Ломбоке зависел от численности населения, при этом налог должен был уплатить каждый житель острова, так что раджа хотел знать, сколько денег он получит от подданных.