8a. Квантовая механика I - Ричард Фейнман
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
А взяв сумму (7.2) и (7.3), увидим
Если за базисные состояния взять |I> и |II>, то гамильтонова матрица очень проста:
Заметьте, что каждое из уравнений (7.8) и (7.9) выглядит очень похоже на то, что получалось в гл. 6, § 6, для уравнения системы с одним состоянием. Они дают простую экспоненциальную зависимость от времени, отвечающую определенной энергии.
С ростом времени амплитуды пребывания в каждом из состояний ведут себя независимо.
Найденные нами раньше стационарные состояния |yI> и |yII> тоже являются, конечно, решениями уравнений (7.8) и (7.9). У состояния |yI> (для которого С1=-С2)
А у состояния |yII> (для которого С1=С2)
Пусть мы теперь умножили (7.10) на вектор состояния |/>; тогда получится
Вспомним, однако, что |I><I|=1; значит, это одно и то же, что сказать
Иначе говоря, вектор состояния стационарного состояния |yI> не отличается от вектора состояния базисного состояния |I> ничем, кроме экспоненциального множителя, связанного с энергией состояния. И действительно, при t=0
|yI>=|I>;
физическая конфигурация у состояния )/> та же самая, что и у стационарного состояния с энергией Е0+А. Точно так же для второго стационарного состояния получается
Состояние |II>— это просто стационарное состояние с энергией Е0-А при t=0. Стало быть, оба наших новых базисных состояния |I> и |II> физически имеют вид состояний с определенной энергией, но с изъятым экспоненциальным временным множителем, так что они могут быть приняты за базисные состояния, не зависящие от времени. (В дальнейшем нам будет удобно не отличать стационарные состояния |yI> и |yII> от их базисных состояний |I> и |II>, ведь различаются они только очевидными временными множителями.)
Подведем итог. Векторы состояний |I> и |II> — это пара базисных векторов, приспособленных для описания состояний молекулы аммиака с определенной энергией. Они связаны с нашими исходными базисными векторами формулами
Амплитуды пребывания в |I> и |II> связаны с С1и С2формулами
Всякое состояние может быть представлено линейной комбинацией |1> и |2>(с коэффициентами С1и С2) или линейной комбинацией базисных состояний с определенной энергией |I> и |II> (с коэффициентами СIи СII). Итак,
|Ф>=|1>С1+|2>С2, или
|Ф>=|I>СI+|II>СII.
Вторая формула дает нам амплитуды обнаружить состояние |Ф> в состоянии с энергией ЕI=Е0+А или в состоянии с энергией ЕII=Е0-А.
§ 2. Молекула в статическом электрическом поле
Если молекула аммиака находится в любом из двух состояний определенной энергии, а мы приложим к ней возмущение с частотой w, такой, что hw= EI-ЕП=2А, то система может перейти из нижнего состояния в верхнее. Или она может перейти из верхнего в нижнее и испустить фотон. Но для возбуждения таких переходов у вас должна быть физическая связь с состояниями — возможность возмущать систему. Должен существовать какой-то внешний механизм влияния на состояния, нечто вроде электрического или магнитного поля. В нашем частном случае эти состояния чувствительны к электрическому полю. На очереди, стало быть, у нас теперь проблема поведения молекулы аммиака во внешнем электрическом поле.
Для разбора этого поведения вернемся опять к первоначальной базисной системе |1> и |2> вместо |I> и |II>. Предположим, что имеется электрическое поле, направленное поперек плоскости атомов водорода. Пренебрежем на мгновение возможностью переброса атома азота вверх или вниз и зададим вопрос: верно ли, что энергия, этой молекулы в обоих положениях атома азота будет одинаковой? Вообще говоря, нет. Электроны стремятся к тому, чтобы находиться ближе к ядру азота, чем к ядрам водорода, так что водороды оказываются слегка положительно заряженными. Насколько — это зависит от деталей расположения электронов. Каково это распределение, точно представить очень трудно, но, во всяком случае, окончательный результат состоит в том, что у молекулы аммиака есть электрический дипольный момент, как показано на фиг.7.1. С его помощью можно продолжить дальнейший анализ, не интересуясь деталями направлений или величин смещений зарядов. Впрочем, чтобы наши обозначения не отличались от общепринятых, предположим, что электрический дипольный момент равен m и направлен от атома азота поперек плоскости атомов водорода.
Далее, когда азот перепрыгивает с одной стороны на другую, то центр масс не перемещается, а электрический дипольный момент переворачивается. В результате энергия в электрическом поле x будет зависеть от ориентации молекулы. При сделанном только что допущении потенциальная энергия будет выше тогда, когда атом азота будет удален от плоскости водородов в направлении поля, и ниже, когда он удален в обратную сторону; промежуток между обеими энергиями будет равен 2mx.
До этого места мы вынуждены были делать предположения о том, чему равны Е0и А, не зная, как подсчитать их. В соответствии со строгой физической теорией обязана существовать возможность вычисления этих констант, если известны положения и движения всех ядер и электронов. Но никто никогда не делал этого. В систему входит десяток электронов и четверка ядер, и задача чересчур сложна. Факт остается фактом: о молекуле этой никто не знает больше того, что знаем мы с вами. И все, что всякий может о ней сказать,— что в электрическом поле энергия двух состояний отличается и разность энергий пропорциональна электрическому полю. Коэффициент пропорциональности мы обозначили 2m, но его величина должна определяться экспериментально. Можно еще сказать, что молекула имеет амплитуду А перевернуться, но и она должна измеряться экспериментально. Никто не укажет нам точных теоретических значений m и А, потому что расчеты уж слишком сложны, чтобы честно их проделать.
Для молекулы аммиака в электрическом поле наше описание придется изменить. Если игнорировать амплитуду переброса молекулы из одной конфигурации в другую, то энергии двух состояний |1> и |2>обязаны быть равны (Е0±mx). Следуя процедуре, принятой в предыдущей главе, мы примем
Кроме того, предположим, что при интересующих нас электрических полях сами поля не сказываются заметно на геометрии молекулы и, стало быть, на амплитуде того, что атом азота перепрыгнет из одного положения в другое.
Поэтому можно принять, что Н12и H21 не изменились, т. е.
H12=H21=-А. (7.15)
Теперь с этими новыми значениями Нijнадо решать гамильтоновы уравнения (6.43). Мы могли бы их решить просто, как делали это прежде, но поскольку нам не раз, видимо, представится случай решать системы с двумя состояниями, то давайте уж решим их раз и навсегда в общем случае произвольного Нij, считая только, что со временем оно не меняется.
Мы ищем общее решение пары гамильтоновых уравнений
Это линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Значит, всегда можно найти решения, являющиеся экспоненциальными функциями независимой переменной t. Сперва отыщем решения, в которых С1и С2 одинаково зависят от времени; возьмем пробные функции
Поскольку это решение отвечает состоянию с энергией E=hw,
то можно прямо написать
где Е пока неизвестна и должна быть определена так, чтобы дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) выполнялись. При подстановке С1и С2 из (7.18) и (7.19) в дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) производные дают просто -iE/h, умноженное на С1или C2, так что слева остается попросту ЕС1или ЕС2. Сокращая общие экспоненциальные множители, получаем
