Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений - Кьяртан Поскитт

Числа в колонке пенсов могут колебаться от 0 до 99. У одних цен число пенсов невелико (например, 25), тогда как у других бывает довольно большим (например, 80). В среднем выходит около 50 пенсов на покупку, поэтому, чтобы получить приблизительную сумму пенсов, можно сосчитать количество покупок и прибавить 50 пенсов на каждую. Однако гораздо проще уменьшить число покупок вдвое (для этого мы и согнули чек пополам) и добавить на каждую покупку по 1 фунту (50 + 50 пенсов).

Еще больше советов покупателю! Раздел «Деньги и проценты» полностью посвящен процентам, экономии средств и скидкам.

Вычитание

Несмотря на то что складывать можно по несколько чисел одновременно, никогда не пытайтесь вычитать более чем по одному числу за раз. Давайте сначала рассмотрим традиционный способ вычитания, а затем познакомимся с отличным новым способом, который сегодня преподают в школах.

Старый способ

Ключ к вычитанию – помнить о том, что число, скажем 73, это то же самое, что и 70 + 3.

Вычислить, сколько будет 73 − 2, несложно. Достаточно вычесть единицы, чтобы получить 3–2 = 1. Вторую часть (70) трогать при этом не надо, она войдет в ответ без изменений (удобно использовать бумагу в клеточку, чтобы видеть, где единицы, десятки и т. д.).

Все становится интереснее, если надо от 73 отнять 9. Это то же самое, что и 70 + 3–9, однако с 3–9 так просто уже не разделаться.

Нам нужно сделать вот что: представим 73 как 60 + 13. Для этого придется поменять 7 на 6 и приписать перед 3 маленькую единичку. Поэтому я и пользуюсь бумагой в клеточку – тогда видно, что число сверху это 60 + 13, а не 613.

Далее вычисляем 13 − 9 = 4, и с единицами на этом покончено. От 70 же осталось 60, так что окончательный ответ: 60 + 4 = 64.

Теперь, уяснив основной принцип, перейдем к насущным задачам. Предположим, что вы решили построить модель линкора из 6305 спичек, но на данный момент у вас всего 1847 спичек – сколько еще спичек понадобится?

Вот пример, который нужно решить, и хитрость состоит в том, что начать следует с единиц и двигаться к старшим разрядам. Сначала придется разобраться с 5–7. Нам понадобится еще десяток, но у числа 6305 в столбце десятков стоит нуль, так что нам будет нужна еще и тройка в столбце сотен. Тогда мы получим требуемый десяток, вычислив 30 − 1 = 29.

Вы видите, что мы заменили 30 на 29 и добавили 1 перед 5. Теперь можно подсчитать: 15 − 7 = 8.

Разделавшись с единицами, закроем их бумажкой и сосредоточимся на остальной части выражения, а именно на вычитании 629–184. Поскольку 9–4 = 5, сразу запишем 5 в результат. Получается, что со столбцом десятков мы разобрались без проблем.

Учитывая, что от 2 восемь так просто не отнять, займем 1 из 6 (в столбце тысяч останется 5) и запишем 1 перед 2. Это даст нам 12 − 8 = 4. И наконец, в столбце тысяч будет 5–1 = 4.

Итак, вот что у нас получилось:

Теперь мы знаем, что, для того чтобы построить линкор, нам понадобится еще 4458 спичек. (И придется где-то их раздобыть или же найти себе другое хобби.)

Новый способ

В наши дни детей учат вычитать, взяв меньшее число и увеличивая его до тех пор, пока оно не сравняется с бо́льшим числом. Джанет, продавщица в кондитерской, именно так и поступает, когда выдает сдачу. Если вы дадите ей 5 фунтов за пирог, который стоит 2,23 фунта, она должна будет дать вам 2,77 фунта сдачи (5–2,23). Чтобы убедиться, что это так, Джанет комментирует свои подсчеты: сперва она говорит, сколько стоит пирог, затем прибавляет номинал каждой монеты (начиная с самых мелких), отсчитывая их, пока сумма не достигнет 5 фунтов.

Этот подход можно использовать и для вычитания чисел. Давайте опять вернемся к спичкам: нам нужно подсчитать, сколько будет 6305–1847. Начнем понемногу прибавлять спички к 1847, по ходу дела отслеживая, что происходит.

Это и есть ответ: 6305–1847 = 4458. На первый взгляд тут задействовано слишком много чисел, но потренировавшись, вы освоитесь с этим методом. Изящно, не правда ли?

Отрицательные числа

Перед отрицательными числами всегда стоит знак «минус», а перед положительными «плюс» обычно не пишут, разве что в таких выражениях: 3 + 6–4 = 5. Здесь числа 3, 6 и 5 – положительные, а 4 – отрицательное.

Всякое число будет либо положительным (+), либо отрицательным (–).

Иногда сумма может давать отрицательный результат, особенно если речь идет о деньгах.

Величина долга всегда вычитается, то есть она отрицательна.

Вычитание большего числа из меньшего поначалу может сбивать с толку. Для простоты понимания представьте себе линейку с нулем посередине. Положительные числа возрастают в одном направлении, отрицательные – в противоположном.

Когда женщина находит 5 фунтов, она продвигается на 5 шагов в положительном направлении.

Но когда мальчик требует 7 фунтов, это отбрасывает ее назад – до нуля и дальше, на отрицательную сторону линейки. Она лишилась своих 5 фунтов и должна еще 2 фунта.

В случае больших чисел уже не столь очевидно, сколько еще вы должны. Предположим, вы играете в «Монополию» и у вас есть 623 фунта. Вы останавливаетесь на Пикадилли, там четыре дома, и с вас причитается арендная плата 1025 фунтов. Вы отдаете все свои деньги, но понятно, что этого не хватает для полной уплаты аренды. Сколько еще осталось заплатить? Надо вычислить 623 фунта – 1025 фунтов.

Для простоты разобьем вычитание на два шага.

1. Если отрицательное число больше положительного, ответ будет отрицательным. Поэтому в конце вычислений убедитесь, что перед результатом стоит знак «минус».

2. Находим разность между двумя числами. Для этого вычитаем меньшее число из большего: 1025 − 623 = 402.

Не забудьте поставить знак «минус»! Ответ равен – 402 фунта, именно столько вы должны. Так что либо раскошеливайтесь, либо просто возьмите всю эту «Монополию», швырните ее в стену и любуйтесь, как разлетаются по комнате бумажки и пластиковые фишки. Вас за это, конечно, не похвалят, но зато вы получите определенное удовольствие.

Умножение

Трижды семь – двадцать один, четырежды семь – двадцать восемь… Чего уж скрывать, зазубривание таблицы умножения – на редкость утомительное занятие, однако эта таблица имеет слишком большую практическую ценность, чтобы просто забыть о ней как о страшном сне. Работать с ней будет гораздо легче, если вы освоите несколько трюков, быстрых приемчиков и прочих секретов взаимосвязи чисел в таблице.

Тайны таблицы умножения

В этой таблице показаны все результаты умножения от 1 × 1 до 10 × 10. Всего здесь 100 результатов. Первым делом давайте избавимся от некоторых из них.

При умножении на 10 в конец числа просто добавляется ноль. Это слишком легко и при переходе к умножению больших чисел нам не понадобится. Так что исключим из таблицы 10‑ю строку и 10‑й столбец.

Если поменять множители местами, ответ останется тем же. Например, и 3 × 7 и 7 × 3 равно 21. Поэтому уберем из таблицы все повторяющиеся результаты.

Итак, мы избавились от более чем половины ячеек. Посмотрим, что осталось.

Числа в серых ячейках называются квадратами целых чисел, или просто квадратами. Это результаты умножения каждого числа на само себя. Например, вдоль каждой стороны шахматной доски 8 клеток, поэтому полное количество клеток на доске будет равняться восьми в квадрате. Записывают это так: 82, что соответствует 8 × 8 = 64.

Если вы ненавидите зубрить таблицу умножения, можете заполнить ее ячейки еще одним способом. Сначала можно просто складывать нечетные числа 1, 3, 5, 7 и т. д. Начинаем с 1 + 3 = 4. Затем прибавляем 5, получаем 9, затем 7, получаем 16… Так вы вычислите квадраты всех чисел.

Если взять любую ячейку с квадратом числа и вычитать из нее нечетные числа, начиная с 1, то получатся значения по диагонали, идущей в другую сторону от исходной ячейки.

Таким образом, начав с 36 и отняв 1, получим 35, отняв 3, получим 32, вычтя 5, получим 27.

(Сравнив эту диаграмму с таблицей умножения, вы убедитесь, что все совпадает.)

Аналогичным способом, но с помощью четных чисел (2, 4, 6, 8…) можно заполнить и остальные ячейки. Посмотрите на диагональ, идущую ниже диагонали квадратов, ту, где стоят числа 2, 6, 12, 20… Эти значения можно получить, начав с 2, затем прибавив 4, затем 6, потом 8 и т. д. А взяв любое из этих чисел (например, 20), можно найти значения вдоль идущей в другую сторону диагонали – вычитая 2, затем 4, потом 6 (например, 20 − 2 = 18, 18 − 4 = 14 и 14 − 6 = 8).