Большая Советская Энциклопедия (БЕ) - БСЭ БСЭ

  Лит: Руководство по зоологии, сост. Г. П. Дементьев, т. 6, М.—Л., 1940, с. 627—33.

Бесконечная десятичная дробь

Бесконе'чная десяти'чная дробь, см. в ст. Десятичная дробь .

Бесконечная индукция

Бесконе'чная инду'кция, умозаключение, при котором из бесконечной совокупности посылок, исчерпывающих все частные случаи какого-либо общего суждения (высказывания), получается в качестве заключения (следствия) это общее суждение. Например, из посылок 0 + 0 = 0 + 0, 0 + 1 = 1 + 0, 0 + 2 = 2 + 0, 1 + 1 = 1 + 1, 0 + 3 = 3 + 0, 1 + 2 = 2 + 1, 0 + 4 = 4 + 0, 1 + 3 = 3 + 1, 2 + 2 = 2 + 2, 0 + 5 = 5 + 0, 1 + 4 = 4 + 1, 2 + 3 = 3 + 2,... (где многоточие означает предположение, что суммы натуральных чисел, стоящих по обе стороны знаков равенства, пробегают последовательно все натуральные числа) по Б. и. получается заключение а + b = b + a , справедливое для любых натуральных значений а и b. Поскольку фактически «перечислить» бесконечное множество посылок невозможно, в каждом таком «применении» Б. и. имеется элемент идеализации (проявляющийся в приведённом выше примере как раз в допущении о законности замены многоточия, являющегося обозримой конечной знаковой конструкцией, на чисто мысленный, абстрактный образ совокупности «всех натуральных чисел»), и любые обороты типа «и т.д.», заменяющие при этом какую-либо бесконечную совокупность (не обязательно состоящую из натуральных чисел), носят неэффективный и метафорический характер. В силу этой неэффективности Б. и. она не может непосредственно использоваться ни в дедуктивных теориях математики и логики, ни в полуэмпирических построениях естественных наук; в первых она часто заменяется различными формами принципа математической индукции , во вторых — т. н. естественнонаучной (неполной) индукцией. Однако как инструмент теоретического, методологического исследования Б. и. (обычно в форме т. н. правила Карнапа — по имени предложившего его в 1934 австрийского логика) нашла широкие и важные применения в математической логике. Если же совокупность посылок Б. и. задаётся некоторым алгоритмом , то её можно использовать в качестве специального правила вывода.

  Лит. см. при статьях Индукция , Математическая индукция .

  Ю. А. Гастев.

Бесконечно большая

Бесконе'чно больша'я в математике, переменная величина, которая в данном процессе изменения становится и остаётся по абсолютной величине больше любого наперёд заданного числа. Изучение Б. б. величин может быть сведено к изучению бесконечно малых , т.к. если у есть Б. б. величина, то обратная ей величина z = 1 /y является бесконечно малой. Тот факт, что переменная у является Б. б., записывают в виде lim y = ¥. При этом символ¥ («бесконечность») является просто условным обозначением того, что у есть Б. б. величина. Возможна и др. точка зрения, в силу которой ¥ является несобственным элементом, присоединяемым к множеству действительных чисел (см. Бесконечность в математике). Применительно к функции аргумента х развёрнутое определение Б. б. звучит так: функция f (x), определённая в окрестности точки х0 , называется Б. б. при х, стремящемся к х0 , если для любого числа N > 0 найдётся такое число d>0, что для всех x &sup1; x0 и таких, что |х - х0 | < d, выполняется неравенство |f (x)| > N . Это свойство записывается в виде

  С. Б. Стечкин.

Бесконечно малая

Бесконе'чно ма'лая в математике, переменная величина, стремящаяся к пределу , равному нулю. Для того чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится Б. м. Например, величина y = 1/x является Б. м. при аргументе х, стремящемся к бесконечности, а при х, стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой . Если предел переменной у конечен и равен а , то lim (y - a ) = 0 и обратно. Поэтому понятие Б. м. величины можно положить в основу общего определения предела переменной величины. Теория Б. м. является одним из способов построения теории пределов.

  При рассмотрении нескольких переменных величин, участвующих в одном и том же процессе изменения, переменные у и z называются эквивалентными, если limz/y = 1; если при этом у является Б. м., то у и z называются эквивалентными Б. м. Переменная z называется Б. м. относительно у, если z/y есть Б. м. Последний факт часто записывается в виде z = о (у ) (читается: «z есть о малое от у»). Если при этом у является Б. м., то говорят, что z есть Б. м. более высокого порядка, чем у. Часто среди нескольких Б. м., участвующих в одном и том же процессе изменения, одна из них, скажем у, принимается за главную, и с ней сравниваются все остальные. Тогда говорят, что z есть Б. м. порядка k > 0, если предел lim z/ук существует и отличен от нуля; если же этот предел равен нулю, то z называется Б. м. порядка выше k. Изучение порядков различного рода Б. м. — одна из важных задач математического анализа.

  Для случая, когда переменная величина есть функция аргумента х, из общего определения предела вытекает такое развёрнутое определение Б. м.: функция f (x ), определённая в окрестности точки x0 , называется Б. м. при х, стремящемся к x0 , если для любого положительного числа e найдётся такое положительное число d, что для всех x &sup1; x0 , удовлетворяющих условию |x - x0 | < d, выполняется неравенство |f (x)| < e. Этот факт записывается в виде

При изучении функции f (x ) вблизи точки xo за главную Б. м. принимают приращение независимого переменного Dх = х - х0 . Формула

  Dy = f’ (x0 ) Dx + о (Dх)

выражает, например, что приращение Dy дифференцируемой функции с точностью до Б. м. порядка выше первого совпадает с её дифференциалом dy = f ' (x0 ) Dx.

  Метод Б. м., или (что то же) метод пределов, является в настоящее время основным методом обоснования математического анализа, почему его и называют также анализом Б. м. Он заменил исчерпывания метод древних и «неделимых» метод . Метод Б. м. был намечен И. Ньютоном (1666) и получил всеобщее признание после работ О. Коши . При помощи Б. м. даются определения таких основных понятий анализа, как сходящийся ряд, интеграл, производная, дифференциал. Кроме того, метод Б. м. служит одним из основных методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано с тем, что большинство закономерностей механики и классической физики выражается в виде формул, связывающих Б. м. приращения изучаемых величин, и обращение к Б. м. является обычным приёмом составления дифференциальных уравнений задачи.

  Лит. см. при ст. Анализ математический .

  С. Б. Стечкин.

Бесконечно удалённые элементы

Бесконе'чно удалённые элеме'нты в математике, элементы (называемые точками, прямыми, плоскостями), которыми пополняется евклидова плоскость или евклидово пространство для интерпретации некоторых разделов математики (проективная геометрия, теория функций комплексного переменного и др.).

  Происхождение термина «Б. у. э.» легче всего проследить на следующем примере. Рассмотрим в евклидовой плоскости a ее параллельные прямые а и а' (рис ., 1) и прямую b , пересекающую их соответственно в точках М и М'. Будем поворачивать прямую b вокруг точки М' в направлении, указанном на рис. стрелкой, до совпадения с прямой а'. Очевидно, по мере приближения прямой b к a' точка М пересечения прямых a и b будет удаляться в бесконечность. Этот процесс достаточно отчетливо поясняет часто употребляемое выражение: «параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке».