Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы - Хавьер Фресан

Именно этот сценарий мы хотим восстановить в арифметике, так как числа никогда не смогли бы вести «двойную жизнь», как того хотел Гедель, если бы, играя одну роль, они навсегда забывали бы о другой. Благодаря основной теореме арифметики все «реакции» при «гёделизации» обратимы. Рассмотрим, почему это так.

Допустим, дано число

304 496 379 203 017 490 604 020 678 113 081 132 612 291 772 080 917 708 404 389 616 093 394 253 015 558 500 327 468 465 234 375 000,

которое мы записали специально для того, чтобы читатель представил себе наименьшие числа Гёделя. Основная теорема арифметики гарантирует, что это число можно разложить на простые множители. Если вы не хотите выполнять разложение вручную, что вполне объяснимо, то можете обратиться к веб-странице http://www.wolframalpha.com и записать в строке поиска слово «factor», а затем — это число.

Для разложения больших величин на простые множители компьютеру потребуется значительное время, однако важно другое: основная теорема арифметики гарантирует, что это разложение всегда существует и, более того, является единственным.

К счастью, наше число сравнительно невелико, поэтому его разложение на множители займет менее секунды:

23·35·511·73·115·1313·177·1913·236·292·3111·378.

Теперь осталось внимательно рассмотреть показатели степеней и восстановить исходные символы согласно таблице. Мы получим формулу  которая гласит, что не существует натурального числа х такого, что для него не существует числа у такого, что у является числом, следующим за х. Переформулировав это высказывание, читатель убедится, что его можно записать в виде «число, следующее за натуральным, тоже есть натуральное число», а это есть не что иное, как вторая аксиома Пеано.

Разумеется, не все натуральные числа являются числами Гёделя для какой-либо формулы, но даже если кто-то скажет нам, что какое-либо число не соответствует никакой формуле арифметики, мы мгновенно сможем это проверить. Например, 15 = 3·5 не является числом Геделя для какой-либо формулы, так как по условиям «гёделизации» разложение числа на простые множители должно обязательно содержать первые простые числа без пропусков, а в разложении 15 отсутствует число 2. Число 1536 = 29·3 также не соответствует никакой формуле арифметики: хотя в его разложении присутствуют первые простые числа без пропусков, число 9 не соответствует ни одному из символов алфавита.

Подведем итог: описанная система кодификации позволяет сопоставить любой формуле (и любому доказательству) арифметики число, кодирующее всю ее структуру целиком. Кроме того, эта «математическая реакция» является обратимой в том смысле, что, разложив произвольное натуральное число N на простые множители, можно определить следующее.

1. Является ли N числом Гёделя для некоторой формулы.

2. Если число N соответствует некоторой формуле, то какой именно.

* * *

ГЁДЕЛЬ В ЛИТЕРАТУРЕ

В романе «Новые признания» (The new confessions) Уильяма Бойда главный герой снимает шедевр немого кино, однако его премьера остается незамеченной, так как в то же самое время появляются первые звуковые короткометражные фильмы. Лишь Курт Гёдель, который мимолетно появляется на страницах романа, признает талант режиссера.

В романе мексиканского писателя Хорхе Вольпи «В поисках Клингзора», опубликованном на десять лет позже, подруга главного героя, физика по имени Фрэнсис Бэкон, врывается на семинар Гёделя в Институте перспективных исследований и начинает кричать на него, обвиняя в неверности. Когда действие переносится в последние ряды аудитории, «профессор Гёдель объявляет, что не может продолжать занятия, и безудержно заливается слезами». Главным его конфликтом, объясняет автор устами фон Неймана, были не формально неразрешимые предложения, а «терзания от любви к проститутке — собственной жене». Эпизод «Новых признаний» выглядит правдоподобным, но сцена, описанная Вольпи, и жестока, и неправдоподобна.

Писатель Уильям Бойд сделал Курта Гёделя одним из героев своего романа «Новые признания».

* * *

Хотя мы уделили немало времени объяснениям гениального метода нумерации, на создание которого Гёделя вдохновили труды Лейбница, не следует забывать, что этот метод — лишь средство достижения цели: доказать, что в любой непротиворечивой и рекурсивно перечислимой системе аксиом существуют истинные, но недоказуемые высказывания. В начале этой главы мы указали, по какой схеме должно выполняться это доказательство: в парадоксе лжеца нужно заменить понятие истинности понятием доказуемости и получить самоотносимое утверждение, которое гласит: «я недоказуемо». Если противоречия не допускаются, то это утверждение должно быть истинным, следовательно, недоказуемым. Основная сложность, как мы уже указывали, заключается в том, чтобы найти арифметический эквивалент этого утверждения на метаязыке, в котором речь идет не о числах, а о математических теориях. Теперь в нашем распоряжении есть все необходимые методы, позволяющие это сделать. Далее мы попытаемся изложить важнейшие этапы доказательства Геделя максимально простым языком.

Нужно перевести на язык арифметики утверждение «я недоказуемо». Но что означает доказуемость утверждения в системе аксиом арифметики? Это означает, что существует доказательство, которое заканчивается нашим утверждением, то есть конечная последовательность формул, каждая из которых является либо аксиомой, либо получена из предыдущих формул с помощью правил вывода. Чтобы определить, является ли последовательность формул, которую мы обозначим Z, доказательством высказывания X, нужно показать, что Z строится по вышеуказанному правилу и что его последней формулой является именно X. Основная идея заключается в том, чтобы с помощью «гёделизации» сопоставить формулам X и Z числа Гёделя, которые мы будем обозначать строчными буквами х и z. Нам хотелось бы найти механизм D, который позволял бы для натуральных чисел х и z через определенное количество шагов дать ответ, является ли последовательность формул, соответствующая числу z, доказательством формулы с числом Гёделя х. Следовательно, высказывание D(х, z) будет истинным, если Z доказывает формулу X, и ложным — в противном случае.

Приведем простейший пример. Напомним, что число Гёделя для второй аксиомы Пеано равно

23·35·511·73·115·1313·177·1913·236·292·3111·378.

Так как определяющее свойство аксиом гласит, что они являются доказательством самих себя, то если мы подставим вышеприведенное число вместо х и z в D(х, z), результат будет истинным: последовательность формул для числа Гёделя z, состоящая в этом случае лишь из второй аксиомы Пеано, является доказательством формулы, которой соответствует число х — это вновь вторая аксиома Пеано! Однако если мы введем в качестве значения z число 23·35·511·77·112·1311·176·191·238, механизм D(х, z) выдаст результат «ложь», так как формула, соответствующая этому числу, не является доказательством второй аксиомы Пеано. Тот факт, что формула для числа Гёделя х доказуема, означает, что существует число z такое, что после довательность формул, соответствующая z, является доказательством формулы, связанной с х. Иными словами, существует z такое, что высказывание D(х, z) является истинным. Как следствие, формула z D(х, z), которую для краткости будем обозначать Dem (х), гласит, что формула, соответствующая числу Гёделя х, доказуема. Вкратце повторим вышеизложенное: если бы существовала формула D, то благодаря «гёделизации» все тонкости доказуемости высказываний можно было бы свести к простому отношению между натуральными числами х и z. Какая же теория рассматривает подобные отношения? Арифметика!

Читатель уже наверняка понял, что наиболее трудоемкая часть работы Гёделя состояла в том, чтобы доказать, что механизм, обладающий описанными выше свойствами, действительно существует. Для этого Гёделю потребовалось 46 этапов, которые мы опишем лишь вкратце. Допустим, что дано некоторое натуральное число z, кодирующее некую последовательность формул. По основной теореме арифметики мы можем разложить z на простые множители: