4a. Кинетика. Теплота. Звук - Ричард Фейнман

Эту главу мы закончим замечанием о связи гармоник с квантовой механикой. Колеблющимися объектами и величи­нами, которые изменяются со временем в квантовой механике, являются амплитуды вероятности, которые определяют ве­роятности обнаружения электрона или системы электронов в данном месте. Эта амплитуда может изменяться в пространстве и времени и удовлетворяет линейному уравнению. Но при пе­реходе к квантовой механике происходит переименование. То, что мы называли частотой амплитуды вероятности, переходит в энергию в ее классическом смысле. Поэтому установленный выше принцип можно перевести на язык квантовой механики, заменив слово частота словом энергия. Получится примерно так: квантовомеханическая система, например атом, не обя­зательно обладает определенной энергией, точно так же, как простая механическая система не обязательно имеет определенную частоту, но каково бы ни было поведение системы, его всегда можно представить в виде суперпозиции состояний с определенной энергией. Энергия каждого состояния, как и форма амплитуды, которая дает вероятность нахождения ча­стицы в различных местах, определяется свойствами атома. Общее движение может быть описано заданием амплитуд каж­дого из различных энергетических состояний. Именно здесь кроется причина возникновения энергетических уровней в квантовой механике. Поскольку квантовая механика все описывает в виде волн, то при некоторых обстоятельствах, когда электрон не обладает достаточной энергией, чтобы бесповоротно оторваться от протона, он представляет собой просто волну в ограниченном пространстве. Поэтому, так же как и для огра­ниченной струны, при решении волнового уравнения в кванто­вой механике в подобном случае возникают определенные ди­скретные частоты. В квантовомеханической интерпретации это будут определенные энергии. Следовательно, квантовомеханическая система, вследствие того что она описывается с по­мощью волн, может иметь определенные состояния с фиксиро­ванной энергией; примером могут служить дискретные энерге­тические уровни атомов.

Глава 50

ГАРМОНИКИ

§ 1. Музыкальные звуки

§ 2. Ряд Фурье

§ 3. Качество и гармония

§ 4. Коэффициент Фурье

§ 5. Теорема об энергии

§ 6. Нелинейная реакция

§ 1. Музыкальные звуки

Говорят, что Пифагор первый обнаружил тот интересный факт, что одновременное зву­чание двух одинаковых струн различной длины приятнее для слуха, если длины этих струн относятся друг к другу как небольшие целые числа. Если длины струн относятся как 1:2, то это — музыкальная октава; если они относятся как 2:3, то это соответствует интервалу между нотами до и соль и называется квинтой. Эти интервалы считаются «приятно» звучащи­ми аккордами. На Пифагора произвело такое впечатление это открытие, что на его основе он создал школу «пифагорийцев», как их называли, которые мистически верили в вели­кую силу чисел. Они полагали, что нечто по­добное будет открыто и в отношении планет, или «сфер». Иногда можно услышать такое вы­ражение: «музыка сфер». Смысл его в том, что в природе предполагалось существование чис­ловой связи между орбитами планет или между другими вещами. Это считается чем-то вроде суеверия древних греков. Но далеко ли от этого ушел наш сегодняшний научный интерес к количественным соотношениям? Открытие Пифагора, помимо геометрии, было первым примером установления числовых связей в природе. Поистине должно быть было удиви­тельно вдруг неожиданно обнаружить, что в природе есть такие факты, которые описы­ваются простыми числовыми соотношениями. Обычное измерение длин позволяет предска­зать то, что, казалось бы, не имеет никакого отношения к геометрии,— создание «прият­ных» звуков. Это открытие привело к мысли, что арифметика и математический анализ, по-видимому, могут служить хорошим орудием в понимании при­роды. Результаты современной науки полностью подтверждают такую точку зрения.

Пифагор смог сделать свое открытие лишь с помощью экс­периментальных наблюдений. Однако все значение этого от­крытия, по-видимому, не было ему ясно. А случись это, и развитие физики началось бы гораздо раньше. (Впрочем, всегда легко рассуждать о том, что сделал кто-то когда-то и что на его месте следовало бы сделать!)

Можно отметить еще одну, третью сторону этого интерес­ного открытия: оно касается двух нот, которые звучат приятно для слуха. Но далеко ли ушли мы от Пифагора в понимании того, почему только некоторые звуки приятны для слуха? Общая теория эстетики, по-видимому, ненамного продвинулась со времен Пифагора. Итак, одно это открытие греков имеет три аспекта: эксперимент, математические соотношения и эстетику. Физики пока добились успеха только в первых двух. В этой главе мы расскажем о современном понимании открытия Пифагора.

Среди звуков, которые мы слышим, есть такой сорт, кото­рый называется шумом. Ему соответствуют какие-то нерегу­лярные колебания барабанной перепонки уха, вызванные не­регулярными колебаниями находящихся поблизости объектов. Если начертить диаграмму зависимости давления воздуха на барабанную перепонку (а следовательно, и перемещения ее) от времени, то график, соответствующий шуму, будет выглядеть так, как это изображено на фиг. 50.1,а.

Фиг. 50.1. Давление как функция времени.

а — для шума; б — для му­зыкального звука.

(Такой шум может например, вызвать топанье ногой.) А музыкальный звук имеет другой характер. Музыка характеризуется наличием более или менее длительных тонов, или музыкальных «нот». (Кстати, музыкальные инструменты тоже умеют производить шум!)

Тон может длиться сравнительно недолго, например когда мы ударяем по клавише фортепьяно, или неопределенно дол­го, когда, скажем, флейтист берет длинную ноту.

В чем состоит особенность музыкальной ноты с точки зре­ния давления воздуха? Музыкальный звук отличается от шума тем, что график его периодичен. Форма колебаний давления воздуха со временем пусть даже какая-то неправильная, но она должна повторяться снова и снова. Пример зависимости дав­ления от времени для музыкального звука показан на при­веденной выше фиг. 50.1.б.

Обычно музыканты, говоря о музыкальном тоне, опреде­ляют три его характеристики — громкость, высоту и «каче­ство». «Громкость», как известно, определяется величиной из­менения давления. «Высоте» соответствует период времени повторения основной формы давления («низкие» ноты имеют более длинный период, нежели «высокие»). А под «качеством» тона понимается разница, которую мы способны уловить между двумя нотами одинаковой громкости и высоты. Мы прекрасно различаем звучание гобоя, скрипки или сопрано, даже если высота издаваемых ими звуков кажется одинаковой. Здесь уже дело идет о структуре периодически повторяющейся формы.

Давайте кратко рассмотрим звук, производимый вибри­рующей струной.

Если оттянуть струну, а затем отпустить ее, то последую­щее движение будет определяться волнами, которые мы воз­будили. Эти волны, как вы знаете, пойдут в обоих направле­ниях по струне, а затем отразятся от ее концов. Так они будут бегать взад и вперед довольно долго. И сколь бы сложны ни были эти волны, они будут повторяться периодиче­ски снова и снова.

Период этих повторений равен просто времени T, которое требуется волне, чтобы пробежать дважды всю длину струны. Ведь это как раз то время, которое необходимо для того, чтобы любая волна, отразившись от каждого конца, вернулась в начальное положение и продолжала движение в первона­чальном направлении. Время, необходимое для того, чтобы волна достигла конца струны в любом направлении, оди­наково. Каждая точка струны после целого периода воз­вращается в свое исходное положение, затем опять отклоняется от него и снова, спустя период, возвращается, и т. д.

Возникающий при этом звук тоже должен повторять те же колебания; вот почему мы, тронув струну, получаем музыкаль­ный звук.

§ 2. Ряд Фурье

В предыдущей главе мы познакомились с другой точкой зрения на колеблющуюся систему. Мы видели, что в струне воз­никают различные собственные гармоники и что любое частное колебание, которое только возможно получить из начальных условий, можно рассматривать как составленную в надлежащей пропорции комбинацию нескольких одновременно осциллирую­щих собственных гармоник. Для струны мы нашли, что соб­ственные гармоники имеют частоты w0, 2w0, Зw0, .... Поэтому наиболее общее движение струны складывается из синусои­дальных колебаний основной частоты w0, затем второй гармо­ники 2w0, затем третьей гармоники Зw0 и т. д. Основная гармо­ника повторяется через каждый период T1=2p/w0, вторая гар­моника — через каждый период T2=2p/2w0; она повторяется также и через каждый период Т1=2Т2, т. е. после двух своих периодов. Точно таким же образом через период Т1повторяется и третья гармоника. В этом отрезке укладываются три ее перио­да. И снова мы понимаем, почему задетая струна через период t1полностью повторяет форму своего движения. Так получает­ся музыкальный звук.