Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании - Владимир Дьяконов

Глава 9

Пакеты расширения Maple специального назначения

В представленных выше главах описан ряд пакетов расширения системы Maple, которые широко применяются в практике математических и научно-технических расчетов. Эти пакеты были рассмотрены достаточно подробно. В этой небольшой главе обзорно описаны пакеты расширения системы Maple, представляющие ограниченный интерес для большинства пользователей системы. Но они интересуют опытных пользователей — математиков и специалистов по программированию. Заинтересовавшийся ими читатель может дополнить сведения об этих пакетах просмотром справки и демонстрационных примеров в ней.

9.1. Пакет планиметрии geometry

9.1.1. Набор функций пакета geometry

Пакет геометрических расчетов загружается командой

> with(geometry);

которая возвращает весьма внушительный список из более чем 100 функций. Ввиду его громоздкости список не приводится. Функции пакета имеют типовые для объектов двумерной графики имена и рассчитаны на выборочное использование (это, кстати, характерно для средств и других пакетов этой главы).

Этот пакет содержит средства расчета основных параметров ряда геометрических объектов. Для каждого объекта возможно задание различных исходных величин, так что пакет охватывает практически все виды классических геометрических расчетов на плоскости. Несомненно, этот пакет заинтересует всех, кто работает в области геометрии и смежных с нею областях.

Обратите внимание на то, что большинство функций этого пакета вовсе не рисуют на экране соответствующие фигуры, а лишь выполняют типовые геометрические расчеты. Разумеется, в дальнейшем, используя результаты этих расчетов, можно построить соответствующую фигуру с помощью графических функций.

9.1.2. Пример применения расчетных функций пакета geometry

Учитывал идентичность идеологии при работе с функциями этого пакета, большинство из которых имеет вполне прозрачные имена (правда, англоязычные), работу с пакетом поясним на примере одной из функций — circle. Она позволяет математически задать окружность и определить все ее геометрические параметры. Функция может иметь несколько форм записи. Например, в форме

circle(с, [А, В, С], n, 'centername'=m)

она определяет построение окружности, проходящей через три точки А, В и С. Необязательный параметр n — список с именами координатных осей. Параметр 'centername'=m задает имя центра.

В форме

circle(с, [А, В], n, 'centername'=m)

задается окружность, проходящая через две точки А и В, а в форме

circle(с, [A, rad], n, 'centername'=m)

задается окружность, проходящая через одну точку А с заданным (и произвольным) радиусом rad и центром с. Наконец, функция circle в форме

circle(с, eqn, n, 'centername'=m )

позволяет задать окружность по заданным уравнению eqn и центру с.

Проиллюстрируем применение функции circle на следующих примерах. Зададим характеристические переменные:

> _EnvHorizontalName := m: _EnvVerticalName := n:

Определим окружность с1, проходящую через три заданные точки А, В и С с указанными после их имен координатами и найдем координаты центра этой окружности:

> circle(c1,[point(А,0,0), point(В,2,0),point(С,1,2)], 'centername'=O1):

> center(c1), coordinates(center(c1));

Далее найдем радиус окружности

> radius(c1);

и уравнение окружности, заданное в аналитическом виде:

> Equation(c1);

Наконец, с помощью функции detail получим детальное описание окружности:

> detail(c1);

9.1.3. Визуализация геометрических объектов с помощью пакета geometry

Одно из важных достоинств пакета geometry — возможность наглядной визуализации различных геометрических понятий, например, графической иллюстрации доказательства теорем или геометрических преобразований на плоскости. Проиллюстрируем это на нескольких характерных примерах, заодно показывающих технику работы с рядом функций этого пакета.

Рис. 9.1 показывает построение из множества окружностей фигуры — кардиоиды. Вопреки обычному построению этой фигуры, используется алгоритм случайного (но удовлетворяющего требованиям построения данной фигуры) выбора положений центров и радиусов окружностей.

Рис. 9.1. Построение кардиоиды из окружностей

Рис. 9.2 дает графическую иллюстрацию к одной из теорем Фейербаха. Здесь эффектно используются средства выделения геометрических фигур цветом, что, увы, нельзя оценить по книжной чёрно-белой иллюстрации.

Рис. 9.2. Графическая иллюстрация к теореме Фейербаха

На следующем рисунке (рис. 9.3) показано построение фигуры, образованной вращением множества квадратов относительно одной из вершин. Это хороший пример применения функций point, square, rotation и draw из пакета geometry.

Рис. 9.3. Фигура, полученная вращением квадрата

Рис. 9.4 показывает гомологические преобразования квадрата. Заинтересовавшийся читатель может легко разобраться с деталями простого алгоритма этой программы.

Рис. 9.4. Гомологические преобразования квадрата

Обратите особое внимание на последний параметр в функции draw. Он задает построение титульной надписи с заданными шрифтом и размером символов. Сравните титульные надписи на рис. 9.4 и на рис. 9.3, где титульная надпись сделана шрифтом, выбранным по умолчанию. Приятно, что в обоих случаях нет преград для использования символов кириллицы и создания надписей на русском языке.

Наконец, на рис. 9.5 показан пример построения трех окружностей разного радиуса и с разным положением, имеющих две общие точки. Обратите внимание на вывод надписей «о», «о1» и «о2», указывающих положение центров окружностей на рисунке.

Рис. 9.5. Три окружности, имеющие две общие точки

Множество других примеров применения всех функций пакета geometry дано в одноименном с ним файле примеров.

9.2. Пакет стереометрии geom3d

9.2.1. Набор функций пакета geom3d

Помимо существенного расширения пакета geometry, в систему Maple введен геометрический пакет geom3d. Он предназначен для решения задач в области стереометрии (трехмерной геометрии). При загрузке пакета командой

with(geom3d)

появляется доступ к весьма большому (свыше 140) числу новых функций. Ввиду громоздкости списка он также не приводится, но читатель может просмотреть его самостоятельно.

Функции этого пакета обеспечивают задание и определение характеристик и параметров многих геометрических объектов: точек в пространстве, сегментов, отрезков линий и дуг, линий, плоскостей, треугольников, сфер, регулярных и квазирегулярных полиэдров, полиэдров общего типа и др. Назначение многих функций этого пакета ясно из их названия, а характер применения тот же, что для функции описанного выше пакета geometry.

9.2.2. Пример применения пакета geom3d

Учитывая сказанное, ограничимся парой примеров применения этого пакета. Один из примеров представлен на рис. 9.6. На нем представлена сфера внутри «малого иглообразного» додекадрона (SinallStelletedDodecahedron).

Рис. 9.6. Иллюстрация применения пакета geom3d

Еще один пример представлен на рис. 9.7. Здесь представлено еще две объемные фигуры, расположенные друг в друге.

Рис. 9.7. Еще один пример применения пакета geom3d

Напоминаем, что цель пакета не в построении рисунков геометрических фигур, а в аналитическом представлении объектов в пространстве. Поэтому в обширной базе данных справочной системы по этому пакету вы встретите очень мало рисунков.

9.3. Пакет функций теории графов networks

9.3.1. Набор функций пакета networks

Графы широко используются при решении многих прикладных и фундаментальных задач. Пользователей, занятых решением таких задач, наверняка порадует пакет networks, содержащий весьма представительный набор функций. Список их имен выводит команда:

> with(networks);

Теория графов используется достаточно широко даже при решении прикладных задач — например, для вычисления оптимальных маршрутов движения железнодорожных составов, наиболее целесообразной раскройки тканей и листов из различных материалов и т.д.

9.3.2. Примеры применения пакета networks

Рассмотрим некоторые избранные функции этого пакета, которые наиболее часто используются при работе с графами. Функции создания графов: